第二百五十八夜：差比数列

在最近的考试中，数列以中档题出现的频率颇高。数列从必修中移至选修，其地位上升是不言而喻的。新教材对数列的性质明显加强了，相信未来，数列将有更广阔的发挥空间。

“重庆巴蜀中学”高2022届第4次月考已经落下帷幕，数学试卷尚未仔细看，不过有人提到了其中的第20题，便索性写了下来。

本题算不上难题，也算不上好题。既然已复习了数列，“差比数列”是绕不开的坎，其破题方法——“错位相减法”更是不得不掌握的套路。

法1，错位相减，教材中推导等比数列的求和公式便是此法。错位相减总是以中低档题出现，旨在送分。但凡对自己有要求的人都不会视而不见。很遗憾，不少人在第一问折戟，所以无论第二问是如何的简单诱人，分数都与之无缘。

法2，裂项兼并项。表面上看，这似乎是很神奇的技巧，其实本质与法1一致。只不过这里省略了程序化的步骤而已。法2是我一时兴起所为，我要罗嗦的不会更多。不过它却启发了我——能否将“差比数列”进行“裂项相消”呢？

答案是肯定的，并且这种套路具有一般性。

法3，裂项相消，将数列中的每一项都拆分为两项，求和后中间项相互抵消，剩下前后两项（或几项）。事实上，每一个“差比数列”都具有这样拆分的特点，当中的参数可通过赋值法求得。

法4的理论依据自然是“幂级数”，它有许多好性质（连续性、逐项积分、逐项求导等）。由于幂级数并非高中数学的内容，因此，我不想谈论太多。至于如何取舍，完全是你的自由。我还想补充的是，即便如此，法4也有诸多缺陷，严谨与否就不要纠结了。

另外，“差比数列”有求和公式。如果是小题，直接套用即可，在此不作赘述。