菜鸡速通微积分：从十进制到矢量内积、正交性、傅里叶级数（二）

菜鸡速通微积分：从十进制到矢量内积、正交性、傅里叶级数（二）

大家好！感谢阅读本鸡的拙作。欢迎关注！

如果您发现本文有任何错误，文字或者叙述错误，请务必教我。

本文专为初学微积分的选手设计，对需要复习微积分概念的选手也可获益。本文是本鸡拙作“菜鸡速通微积分：从十进制到矢量内积、正交性、傅里叶级数（一）”的续篇。因此，假定你已经确信无疑的知道以下概念：矢量，线性运算、矢量内积，正交，正交分解，投影。如果您读本文感觉困难，强烈建议你读（一），以获得相应的概念。

此外，希望你已经懂了收敛的概念：有极限，因此可以用有限项近似。如果你不懂这个概念，强烈建议你读菜鸡速通微积分系列文章：数列极限定义和存在法则，以及从十进制到数列、级数、幂级数、函数项级数。本鸡自信比任何课本都容易读。

只说人话，没有晦涩的推理和证明。由于没有严谨的理论，所以本文算是一个“理解”性的说明。别废话，来啊。

直接说答案，两句话：1.函数展开成傅里叶级数，差不多就是在{e^jkwt}这个坐标系下的正交分解；2.傅里叶系数，或者坐标就是函数在坐标系下的投影。追加一句，函数不同，坐标就不同。下面开始解释，让你能迅速接受这个说法。

刚才这段有点吓人，先缓缓气氛。

想象你用手机循环播放一段音乐（假设音乐永不停止）。于是，这是一个周期函数。“音乐里面有高（频率）音、有低音，这些不同的音，有音量大有音量小，有先有后（相位）”。说简洁些，就是“不同频率的成分按特定幅值、相位，合成一个周期函数”。把这句话重复到你能一字不落为止。反过来，一个周期函数可以分解为不同频率成分的（线性）组合。

有感觉没？是不是线性代数的说法？矢量的合成与（正交）分解。把这句话永远记在心里。

为了降低你的负担，先看一个图（虽然只画了一个周期）。然后要把这件事说得更像线性代数（实际上是泛函分析）。

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死死地盯着这个图，确保你看出了有两个三角函数：频率分别是w、3w；幅值分别是1、0.4；还有初相位分别是0，π。这个例子里面，分解的方式是明摆着的：就是描红的那个，分解成两个特定的三角函数。

现在，立刻可以推广。如果你用来合成的三角函数的数目发生变化（无穷多的、更高倍的频率），或者频率、幅值、初相位变化，你可以通过特定的合成方式，得到无穷多各种各样的周期函数。（这里隐含的说了三角函数系。）

确实如此，好听的不同的音乐（一旦循环就是周期函数）不断被创造出来。插一句，钢琴之所以被称为乐器之王，据说原因是其音色（d一个琴键，音的频率成分）丰富。

装模作样的引用一下力学的术语：不同频率的简谐振动可以合成一个复杂振动；合成方式不同，得到的合振动就不同。或者反着说：复杂振动可以分解成简谐振动。等等，起码字面上看起来，这不就是矢量的分解和合成吗？

一、函数展开成傅里叶级数

请心里务必想着”收敛的意思是可以用有限项近似“这件事。下面看一个有点吓人的式子：

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现在先观察一下，这是一个函数项级数，因为每一项都是三角函数，因此也是三角级数。

注意一下用一下三角恒等式，就知道（别算，理解意思就行）求和号内可以写成单一的余弦或者正弦：

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还要注意一下，因为等式右边每一个都是周期函数，所以f（t）本身也必须是周期函数。下面引入几个工科和物理喜欢用的术语，直流分量--a0/2；k次谐波分量--诸k对应的那个三角函数。k次谐波这个词，在后面你就能同意并且理解。对应的，Akm是k次谐波的振幅，画在图上，就是幅度图（谱）。初相位是那些φ，画出来，就是相位图（谱），合在一起，就是傅里叶频谱图。比方说，最开始的例子，大概这样（这里没有区分π和-π）

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（这里实在不能去讨论级数里面等号深层的含义，因为这必须谈更多的收敛性问题，展开讨论必须引入L2空间，真正理解这个需要测度论和勒贝格积分。所以我们不去管它。）

直接假定收敛，收敛的意思是可以用有限项近似，于是就到了这一步

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这简直就是咱们一开始的那种情况。这个近似表达式在说，一个周期函数，可以分解为几个三角函数的合成。

实在忍不住多说几句：函数本身与三角函数差别越小，收敛就越快，就可以用越少的项近似。反过来，越不像三角函数，就得越多的项来修正，精确的等式就可能需要无穷多。这真不是废话，三角函数的分解就是它自己。还记得“坐标轴本身就是矢量”吗？能不能看出三角函数前面都有系数？能想起不同矢量，在正交坐标系内的坐标不同吗？事实上，起码在形式上可以说，这个分解式，的确是三角函数乘以系数的线性组合，你把三角函数叫做矢量，完全没问题。

这里反复强调，矢量的形式不重要，记号也不重要，重要的是确实有坐标系和坐标、以及线性运算和内积；能不能写成线性代数那种形式3（0，1），根本无所谓。这件事就像，比方说你写1+1=2、一加一等于二、壹加壹等于贰、I+I=II、one plus one is two，这都是一个东西，只是有的看起来不太熟悉罢了。鸭子瓶子、力位移就是这个意思。

二、虚指数及正交性

现在要确认内积和正交性。这是根本性的话题。（我不去引用内积公理，逻辑上应该引用）只来确认正交性，再套上投影这个词。

本来貌似应该讨论三角函数系的正交性。这里要转一个弯儿，不同于同济高数之类的课本，而用rudin《数学分析原理》等的套路，讨论系{e^jkwt}的正交性。这个套路的好处是，可以把傅里叶级数看成幂级数！

如果你不懂虚指数，烦请参考本鸡拙作“菜鸡速通：从匀速圆周运动到虚指数”。

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还有

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所以，（你不用算知道意思就行）写正弦余弦和虚指数是完全一样的。但是现在明摆着，所有的指数都是幂，k就是第k次幂！可能这就是为什么把第k项叫做k次谐波的原因。

回忆一下，投影是矢量与坐标轴矢量的内积。现在问题非常严重，怎么叫做函数f（t）和坐标轴，就是每个e^ikwt的内积？

那么办法是什么？咱马后炮，讨论两件事：最简单的矢量，就是坐标轴矢量自己，在自己身上的投影当然是自己，意思是坐标是1；并且在其他坐标轴上的投影是0，就是坐标是0，否则正交性就没了。（这里严格点的说法是，线性变换由其在基上的作用唯一确定）

答案差不多出来了。你先看一个结果，很容易做：

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接下来就是，强行把这个叫做内积不行？因为这里有好几个问题。

1.虚指数负号怎么办？首先

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所以看起来还是自己，起码频率一样。你如果还不满意，就直接看看余弦的指数表达，大不了你两个虚指数的和都写就是了。等等！！！你要明白，如果没有这个负号，你是无论如何算不出实数1的，坐标轴矢量与自己的内积必须是1。你看出来了，只要公式这样修正一下

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终于大功告成！这个公式说的就是，坐标轴矢量，与自己的内积是1，而与其他坐标轴矢量的内积是0（垂直）！多说一句，希望你看懂了傅里叶公式里面为什么要有2π，这实际上是虚指数的圆周性质。（就不说标准正交化这样的词了）

2.现在，函数在坐标系的投影，也就是与每个坐标轴矢量的内积，也就是坐标，就是

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Fn的图可以画吗？请想一想。

多说一句，这样写形式上越来越像傅里叶变换。

另外，很明显，还有个共轭的F-n，自己写一下吧。

3.你可能不满意，积分是内积吗？内积不是分量相乘再求和吗？

好，就说这个。既然你已经有了坐标系和坐标，那么就该写

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你再看Fn的计算，你只写了n次谐波，就这一个坐标轴矢量，其他的没写。问题是，别忘了，坐标轴的展开式里面，其他坐标轴的系数必须是0。所以，这确实是分量对应相乘，根本就是一样的。

现在，求Fn的积分，还有一个理解方式，只有对t积分，才能让t消失。完全变成了w的函数，这叫做频域分析法。还能想起来，咱都已经画了频谱图吗？这些坐标和相位，不过你是在三角函数坐标系，还是虚指数坐标系，都是w的函数。Fn明摆着是一个复数，有模和角。

如果你还没理解“积分是求和”这件事，请回去复习一下积分的定义“分割，求和，取极限”。不要去看广义积分，虽然这里需要，因为还有更多困难会卡住你。

现在你再看看这些系数和坐标轴，再想想鸭子瓶子的事，或许就舒服了。我希望如此。

献丑了。再次感谢阅读。

以后希望推出傅里叶变换的节目，请多批评。谢谢