数列有界和收敛的关系

收敛的函数一定有界,但有界不一定收敛,收敛是有界的充分不必要条件。数列收敛则一定有界。 请注意这里是数列,而不是函数。你那个例子:数列{1/x}(xu003e0),x是正整数,当然有上界且有下界。注意数列的定义域都是正整数。

要看是不是正向级数 是的话是充分必要条件不是的话是前者是后者的充分条件正向级数的证明思路：正向级数是单调增加数列，如果有界 根据单调有界必收敛定理 正向级数收敛 反之 级数收敛 则有界（同济第一章很前面的定理） 。

首先，收敛和有极限是一个概念。其次，函数收敛能推出它是局部有界的。【关于这个局部，如果已知的是x→x0时函数有极限，则这个局部是指x0的某个δ临域；如果已知的是x→∞时函数有极限，则这个局部指的是xu003e+∞或xu003c-∞】但是有界不一定能推出收敛（有极限）【如函数F(x)=sinx,它是有界的，但当x→∞时它并不收敛。】 综上，收敛u003c=u003e有极限，收敛=u003e有界。

1.有界的数列不一定收敛

例如，已知数列{(-1)^n}是有界的，但它却是发散的．换句话说，有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件．

2 单调有界数列一定收敛

我们知道，收敛的数列必有界；但是有界的数列不一定收敛。现在这个准则表明：如果数列不仅有界，而且是单调的，则其极限必定存在。