椭圆形面积计算公式，数理基础竟如此扎实

本篇文章主题：量子力学之路（2）——开普勒与牛顿

量子力学之路——坚实的数理基础至关重要，没有捷径可走

艾萨克·牛顿

根据开普勒定律，我们知道行星是怎么运动的，但不知道为什么会这么运动。这需要几位科学家的努力，最著名的是艾萨克·牛顿，提出了一个完整的解释。在开普勒之后的几十年，牛顿发表了他的《自然哲学的数学原理》(简称《原理》)，其中有三个基本的命题：

牛顿的三大运动定律。地球上的物理定律可以应用于天体。重力是一种引力，作用于所有质量之间，与物体的质量成正比，与物体之间距离的平方成反比。

根据这三个命题，牛顿能够解释开普勒定律和许多其他物理学上的其他问题。

动量

现在我们已经了解了一些历史信息，让我们来看看动量。在经典力学中，动量是一个矢量，等于物体的质量乘以它的速度。牛顿的三个运动定律都是关于动量的表述。

牛顿三大运动定律

运动中的物体将保持运动状态，除非受到外力的作用。力是动量的时间导数。每一个力都有一个大小相等、方向相反的反作用力。

第一定律说，一个不与其他物体相互作用的物体将有一个恒定的动量，因此有一个恒定的速度。第二定律定义了力如何改变物体的动量。它比第一定律更普遍，但牛顿明确指出，第一定律是对亚里士多德物理学的直接回应。最后一个定律保证了如果两个物体相互作用，那么它们动量的总和将是守恒的，即使它们各自的动量可能不守恒。

牛顿万有引力定律

根据牛顿第二定律，有

如果用笛卡尔基向量写出物体的位置，有

角动量

我们要让其中一个坐标为零。假设z = 0。根据上面的方程，物体在z方向上不会受到任何力，因此也不会有加速度。如果z方向的速度也是0，那么z将保持为0。

你可以通过在笛卡尔坐标系中展开来验证。

求位置的二阶时间导数，有

因为是柱坐标，因此ρ和φ基向量不是常量，这意味着我们也要对它们求时间导数。

惯性力

在任何加速的坐标系中，必须引入加速度项（惯性力）来抵消坐标系的加速度。在我们的例子中，有两个惯性力:

离心加速度科氏加速度

虚力

惯性力也被称为虚力，因为这些力与物体之间正常的相互作用无关。

举个例子，离太阳系最近的恒星大约在4光年之外。如果定义我们的坐标系统与地球一起旋转，那么这颗恒星将以大约10000倍的光速运动，并具有相同量级的恒定加速度。即使不考虑相对论，这个结果也是荒谬的（与任何物体都没有物理上的相互作用，却有巨大的速度和加速度）。

但如果我们让x轴从地球指向恒星，恒星就不会移动，也不会有加速度。

话虽如此，我并不喜欢“虚力”这个名字，因为它会让人产生一种错误的印象，认为它们不能代表真实的东西。例如，当汽车加速时，一个虚力会把你推向座位上，所以它并不总是“虚”的。

惯性力是非惯性参照系的产物，它们出现在了加速度项中。所有的惯性力都与物体的质量成正比。

步骤3：在柱坐标中写出引力

我们已经把质量和引力分开了，所以只需考虑加速度。我们必须把重力加速度转换成柱坐标

角动量等于质量乘以ρ^2φ ‘（在z方向上）。因此，C=L/m。此外，角方程还可以帮助我们解径向方程

让τ表示它达到φ_1和达到φ_的时间间隔。如果我们做u代换，有

从角方程，我们知道ρ^2φ ‘ = L/m，所以可以把它代入积分

这个方程和伯努利微分方程很相似。非线性项的二阶导数会引入无法抵消的项。为了解决这个问题，我们将放弃寻找ρ(t)和φ(t)的封闭解，而尝试寻找它所走的路径，ρ(φ)。

追踪路径vs.位置的时间函数

为了强调这一区别，我们可以考虑一些以不同方式在赛道上前进的人：

开赛车，骑自行车，步行，在赛道上走了一半，然后转身，

所有这些都可以有不同的ρ(t)和φ(t)，但它们都有相同的ρ(φ)。同样地，只要知道ρ(φ)，太阳系中的行星和其他天体就有可能以随机的速度运动，旋转，甚至是瞬移，只要它们一直在轨道上。为了确定行星的运动方式，我们还需要φ(t)，这可以从角方程中得到，目前还没有解出来。

伯努利方程

在伯努利方程中，我们会猜想ρ(t)是α(t)的幂

如果求一阶导数

现在，我们可以求二阶导数

该微分方程是一个标准的二阶线性微分方程，我们可以用多种方法求解。这篇文章已经很长了，我们直接写出解

我们要找的不是α(φ)而是ρ(φ)，根据α的定义，有

圆锥曲线是通过切割圆锥得到的形状

圆（ε = 0）椭圆（0 < ε 1）

特别值得注意的是椭圆。请注意，抛物线和双曲线都将走向无穷远，所以任何沿着抛物线或双曲线轨道运行的物体都不会留在太阳系中。然而，这些行星仍然存在于太阳系中，这意味着它们要么是圆形，要么是椭圆形。因为圆只能在ε的一个值出现，所以几乎肯定会得到一个有界轨道的椭圆。换句话说，我们已经证明了开普勒第一定律。

位置作为时间函数的闭合解

我们可以把ρ(φ)代入角方程得到

半长轴和半短轴

对于椭圆轨道，我们也可以计算半长轴和半短轴，你可以把它们想象成椭圆的两个半径。

从这些轴，我们可以用一个简单的公式来计算椭圆的面积：

在偏心率为0的极限情况下，得到了一个圆。

动量守恒

太阳静止的假设导致动量守恒的一些问题。绕轨道运行的物体会改变它的速度，而“太阳是静止的”，这就意味着动量不守恒。为了保证动量守恒，我们需要太阳移动。如果我们从距离矢量q = s_1- s_2开始，求它的二阶时间导数，有

我们称Q为质心。一组没有外力的物体的质心将以恒定的速度运动。我们可以通过解线性方程组，找到用这两个新量表示的原始轨迹。

我们已经讨论了经典力学

现在我们已经建立了牛顿力学，而且可以用牛顿力学解决经典力学中的任何问题。不幸的是，牛顿力学有一些问题。

找到守恒量会使问题变得容易得多。幸运的是，我们发现角动量是守恒的。我们必须计算基向量的时间导数。在解决问题之前，我们必须知道所有的力，这可能很困难。试图在其他坐标系中重写运动方程是很困难的。牛顿力学需要大量的几何理解。

牛顿力学不能很好处理的经典问题是，珠子（球珠）只能沿着弯曲成某种形状的金属线移动。应该只有一个运动方程来表示珠子沿着导线应该移动多远。在牛顿力学中，系统中每个物体都有三个运动方程。此外，你还必须考虑线对珠子施加的力，以保证它在电线上，这是一个复杂的问题。你可能甚至不能把力写成一个封闭的形式。有这些约束力的系统随处可见，所以我们不能忽略它们。为了解决这些问题，我们需要一些新的框架。