什么是z变换

什么是z变换

z变换

◆ z变换在离散系统中的作用，与拉氏变换在连续系统中的作用非常相似。

￡

若设，并将写成F(Z),则得

F(z)就叫做的z变换，并且以表示的z变换。

在z变换中，只考虑采样时的信号值。因此，f(t)的z变换与f*(t)的z变换有相同的结果。即:

(7-4)

因为F(z)只取决于f(t)在t=kT(k=0,1,2,…)上的数值，所以F(z)的z反变换，只给出了f(t)在采样瞬间的信息。

表7-1列出普通时域函数的z变换，表7-2列出z变换的常用性质。

X（s）
x(t)或x(k) X(z) 1 1 δ(t) 1 2 e
-kTs

δ(t-kT)

z-k

3 1/s 1(t) z/(z-1) 4 1/s2 t Tz/(z-1)2 5 1/(s+a) e

-at

Tz/(z-eaT) 6 a/(s+a) 1-e

-at

(1-eaT)z/[(z-1)(z-eaT)] 7 ω/(s2+ω2) sinωt zsinωT/(z2-2zcosωT+1) 8 s/(s2+ω2) cosωt
z(z-cosωt)/(z2-2zcosωT+1) 9 1/(s+a)2 Te-at

TzeaT/(z-eaT)2 10 ω/[(s+a)2+ω2] e-atsinωt zeaTsinωT/(z2-2ze-aTcosωt+e-2aT) 11 (s+a)/[(s+a)2+ω2] e-atcosωt
(z2-zeaTcosωT)/(z2-2ze-aTcosωt+e-2aT) 12 1/s2 t2 T2z(z+1)/(z-1)2 13 ak

z/(z-a) 14 akcoskπ z/(z+a) 表7-1 z变换表

7.3.2 z变换的方法

⒈级数求和法

举例说明之。

例7-1 求单位阶跃函数1(t)的z变换

注意:只要函数z变换的无穷级数F(z)，在z平面某个区域内收敛，则在
应用时，就不需要指出F(z)的收敛域。

例7-2 求下列函数的z变换........

f(t)=0(t＜0)
f(t)=eωt(t≥0)

解：

例7-3 求下列函数的z变换........

f(t)=0(t＜0)
f(t)=sinωt(t≥0)

解：

⒉部分分式法
当给定某连续函数f(t)的拉氏变换F(s)时，欲求其z变换，可利用本法，因为许多函数F(s)利用部分分式可以化成如下形式：

通过其中的每一项拉氏反变换得到原函数f(t)为：

而其z变换可以表示为:

下面举例说明。

例7-4 求下列函数的z变换：F(s)=1/s(s+1)

解: 先将F(s)展开成部分分式。

其中, 1/s[或1(t)]相应的z变换为z/(z-1) ,而1/(s+1)[即e-t] 相应的z变换为
z/(z-e-T)

则：

x(t)或x(k) Z[x(t)]或Z[x(k)] 1 ax(t) ax(z) 2 x1(t)+x2(t) X1(z)+X2(z)

3 x(t+T)或x(k+1)

zX(z)-zx(0) 4 x(t+2T)

z2X(z)-z2x(0)-zx(t)

5 x(k+2)
z2X(z)-z2x(0)-zx(1)

6 x(t+kT) zkX(z)-zkx(0)-zk-1x(T)-…-zx(kT-T)

7 x(k+m) zmX(z)-zmx(0)-zm-1x(T)-…-zx(m-1) 8 tx(t)
9 kx(k)
10 e-atx(t)

X(zeaT) 11 e-akx(k) X(zea)

12 akx(k)

x(z/a) 13 k akx(k) 14 x(0)
15 x(∞)
16 x(1) 17 X(z)Y(z)

表7-2 z变换的性质