三角函数的公式

公式见下面：

三角函数的必背公式包括半角公式，倍角公式，两角和与差公式，积化和差公式，和差化积公式。sin(A/2)=±√((1-cosA)/2)，cos(A/2)=±√((1+cosA)/2)，tan(A/2)=±√((1-cosA)/((1+cosA))。

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。通常是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

同角三角函数的基本关系　　tan

α=sin

α/cos

α

平常针对不同条件的常用的两个公式　　sin^2

α+cos^2

α=1

　　tan

α

tan

α

的邻角=1

锐角三角函数公式　　正弦：

sin

α=∠α的对边/∠α

的斜边

　　余弦：cos

α=∠α的邻边/∠α的斜边

　　正切：tan

α=∠α的对边/∠α的邻边

　　余切：cot

α=∠α的邻边/∠α的对边

二倍角公式　　sin2a=2sina·cosa

　　cos2a=cos^2

a-sin^2

a=1-2sin^2

a=2cos^2

a-1

　　tan2a=（2tana）/（1-tan^2

a）

三倍角公式　　

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

　　tan3a

=

tan

a

·

tan(π/3+a)·

tan(π/3-a)

三倍角公式推导

　　sin3a

　　=sin(2a+a)

　　=sin2acosa+cos2asina

　　=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina

　　=3sina-4sin^3a

　　cos3a

　　=cos(2a+a)

　　=cos2acosa-sin2asina

　　=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa

　　=4cos^3a-3cosa

　　sin3a=3sina-4sin^3a

　　=4sina(3/4-sin^2a)

　　=4sina[(√3/2)^2-sin^2a]

　　=4sina(sin^260°-sin^2a)

　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

　　=4sina2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

　　cos3a=4cos^3a-3cosa

　　=4cosa(cos^2a-3/4)

　　=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]

　　=4cosa(cos^2a-cos^230°)

　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

　　=4cosa2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

　　上述两式相比可得

　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

半角公式　　tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa);

　　cot(a/2)=sina/(1-cosa)=(1+cosa)/sina

　　sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

　　cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

　　tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

和差化积　　sinθ+sinφ

=

2

sin[(θ+φ)/2]

cos[(θ-φ)/2]

三角函数中的万能公式即：

sinα=2tan（α/2）/（1+tan^2（α/2））

cosα=1-tan^2（α/2）/（1+tan^2（α/2））

tanα=2tan（α/2）/（1-tan^2（α/2））

以上公式也叫万能代换公式，其实就是由二倍角公式推导变形得到的，例如：

sinα=2sinα/2cosα/2

分子分母同时除以cos^2（α/2），即可得到：

=2tan（α/2）/（1+tan^2（α/2））

另外两个同理也可以得到。

三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

1、sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB；

2、sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB；

3、cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB；

4、cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB；

5、tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)；

6、tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)；

7、cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)；

8、cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)。

三角函数应用：

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。

三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

三角函数公式包括和差角公式、和差化积公式、积化和差公式、倍角公式等。三角函数公式是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数公式。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射，通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

1、同角三角函数基本关系：

倒数关系：

tanαcotα=1

sinαcscα=1

cosαsecα=1

商的关系：

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

2、两角和公式：

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

3、倍角公式：

tan2A = 2tanA/(1-tan² A)

Sin2A=2SinACosA

Cos2A = Cos²A-Sin² A

=2Cos² A-1

=1-2sin²A

4、三倍角公式：

sin3A = 3sinA-4(sinA)³;

cos3A = 4(cosA)³ -3cosA

tan3a = tan a tan(π/3+a) tan(π/3-a)

5、半角公式：

sin(A/2) = {(1--cosA)/2}

cos(A/2) = {(1+cosA)/2}

tan(A/2) = {(1--cosA)/(1+cosA)}

cot(A/2) = {(1+cosA)/(1-cosA)}

tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

6、诱导公式：

sin(-a) = -sin(a)

cos(-a) = cos(a)

sin(π/2-a) = cos(a)

cos(π/2-a) = sin(a)

sin(π/2+a) = cos(a)

cos(π/2+a) = -sin(a)

sin(π-a) = sin(a)

cos(π-a) = -cos(a)

sin(π+a) = -sin(a)

cos(π+a) = -cos(a)

tgA=tanA = sinA/cosA

7、万能公式：

sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]²}

cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]²}

tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}

8、和差化积：

sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

9、积化和差：

sin(a)sin(b) = -1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b) = 1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b) = 1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]

cos(a)sin(b) = 1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]

sin的平方、cos的平方、 tan的平方 的公式是：

1、sin²α+cos²α=1

2、1+tan²α=sec²α

3、1+cot²α=csc²α

4、sin²α=(1-cos2a)/2

5、cos²a=(1+cos2a)/2

6、tan²a=(2tana-1)/(tan2a)

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

函数关系：

倒数关系：①  ；②  ；③ 

商数关系：①  ；②  ．

平方关系：①  ；②  ；③ 

参考资料：

公式见下面：

三角函数的必背公式包括半角公式，倍角公式，两角和与差公式，积化和差公式，和差化积公式。sin(A/2)=±√((1-cosA)/2)，cos(A/2)=±√((1+cosA)/2)，tan(A/2)=±√((1-cosA)/((1+cosA))。

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。通常是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。