初中阶段所学习的函数包括哪些？

基本初等函数包括以下几种：　

（1）常数函数y = c（ c 为常数）　

（2）幂函数y = x^a（ a 为常数）　

（3）指数函数y = a^x（a>0, a≠1）　

（4）对数函数y =log(a) x（a>0, a≠1，真数x>0）　

（5）三角函数以及反三角函数(如正弦函数 ：y =sinx    反正弦函数：y = arcsin x等）

扩展资料

幂函数定义：一般地，形如y=xα(α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）等都是幂函数。一般形式如下  ：（ α为常数，且可以是自然数、有理数，也可以是任意实数或复数。）

指数函数定义：指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2718281828，还称为欧拉数。一般形式如下  ：（a>0, a≠1）

对数函数定义：一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函 数里对于a的规定，同样适用于对数函数。一般形式如下  ：（a>0, a≠1， x>0,特别当α=e时，记为y=ln x）

常见三角函数主要有以下 6 种：

正弦函数 ：y =sinx

余弦函数 ：y =cos x

正切函数 ：y =tan x

余切函数 ：y =cot x

正割函数 ：y =sec x

余割函数 ：y =csc x

此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函数 。

反三角函数主要有以下6种：

反正弦函数：y = arcsin x

反余弦函数：y = arccos x

反正切函数：y = arctan x

反余切函数：y = arccot x

反正割函数：y = arcsec x

反余割函数：y = arccsc x

首先我们先了解一下对数和指数的概念。对数函数的表达式为：y=loga x,(其中a>0且a≠1，x>0)，a为底数，x为真数。指数函数的表达式为：y=a^x，(其中a>0且a≠1),a为底数，x为指数。常见的高中指数化简公式有：am×an=a9（m+n）、am÷an=a（m+n) (am)n=amn=(an)m a0=1 (b/a)=an/bn (ab)n=an×bn a-p=1/ap等等

所谓n阶导数，其实是指对函数进行n次求导，就求函数的高阶导数中的n阶导数。n阶导数是n-1阶导数函数的斜率，关于n阶导数的常见公式可以分成两类：一类是常见导数，也就是初等函数的特殊形式的n阶导数；另一类是复合函数，包括四则运算的n阶导数公式。常见的n阶导数公式，主要包括幂函数，对数函数，指数函数，三角函数常见形式的n阶导数公式。

常见的n阶导数公式：

1、幂函数常见形式是y=x^n，它的n阶导数是n! n为正整数，而对任何比n小的正整数m，幂函数y=x^m的n阶导数都等于0，包括常数函数的一阶的导数等于0，所以n阶导数也等于0。2、对数函数最常见的形式是y=lnx, 它的n阶导数正好是1/x的n-1阶导数，这是因为lnx的一阶导数就是1/x 所以y=lnx的n阶导数是(-1)^(n-1)((n-1)!)/x^n。

3、指数函数最常见的形式是y=e^x，它的n阶导数是它本身。另一个形式e^(-x)就要考虑符号性质，它的n阶导数是(-1)^ne^(-x)。

4、三角函数最常用的是sinx和cosx sinx的一阶导数正好是cosx, 而cosx的一阶导数又正好是-sinx 为了将它们统一起来，我们记sinx的一阶导数是sin(x+π/2), 因此它的n阶导数就是sin(x+nπ/2) 又记cosx的一阶导数为cos(x+π/2), 因此cosx的n阶。

这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:

　　1y=c(c为常数)

y'=0

　　2y=x^n

y'=nx^(n-1)

　　3y=a^x

y'=a^xlna

　　y=e^x

y'=e^x

　　4y=logax(a为底数，x为真数)

y'=1/xlna

　　y=lnx

y'=1/x

　　5y=sinx

y'=cosx

　　6y=cosx

y'=-sinx

　　7y=tanx

y'=1/cos^2x

　　8y=cotx

y'=-1/sin^2x

　　9y=arcsinx

y'=1/√1-x^2

　　10y=arccosx

y'=-1/√1-x^2

　　11y=arctanx

y'=1/1+x^2

　　12y=arccotx

y'=-1/1+x^2

　　13y=u^v

==>

y'=v'

u^v

lnu

+

u'

u^(v-1)

v

　　在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

　　1y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』

　　2y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

　　3y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'

　　证：1显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。

　　2这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到

y=e^x

y'=e^x和y=lnx

y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

　　3y=a^x,

　　△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1)

　　△y/△x=a^x(a^△x-1)/△x

　　如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga(1+β)。

　　所以(a^△x-1)/△x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

　　显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

　　把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1)/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

　　可以知道，当a=e时有y=e^x

y'=e^x。

　　4y=logax

　　△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[(1+△x/x)^x]/x

　　△y/△x=loga[(1+△x/x)^(x/△x)]/x

　　因为当△x→0时，△x/x趋向于0而x/△x趋向于∞，所以lim△x→0loga(1+△x/x)^(x/△x)＝logae,所以有

　　lim△x→0△y/△x＝logae/x。

　　可以知道，当a=e时有y=lnx

y'=1/x。

　　这时可以进行y=x^n

y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

　　所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。

　　5y=sinx

　　△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)

　　△y/△x=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)/△x=cos(x+△x/2)sin(△x/2)/(△x/2)

　　所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2)•lim△x→0sin(△x/2)/(△x/2)=cosx

　　6类似地，可以导出y=cosx

y'=-sinx。

　　7y=tanx=sinx/cosx

　　y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

　　8y=cotx=cosx/sinx

　　y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

　　9y=arcsinx

　　x=siny

　　x'=cosy

　　y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

　　10y=arccosx

　　x=cosy

　　x'=-siny

　　y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

　　11y=arctanx

　　x=tany

　　x'=1/cos^2y

　　y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

　　12y=arccotx

　　x=coty

　　x'=-1/sin^2y

　　y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

　　13联立：

　　①(ln(u^v))'=(v

lnu)'

　　②(ln(u^v))'=ln'(u^v)

(u^v)'=(u^v)'

/

(u^v)

　　另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与

　　4y=u土v,y'=u'土v'

　　5y=uv,y=u'v+uv'

在matlab中指数函数是这样表示的，其指数用上三角形“^”加数字来表示。例如：

1、指数函数的底为x，指数为25，则按下列形式来表达

x^25

2、指数函数的底为5，指数为x，则按下列形式来表达

5^x

所谓n阶导数，其实是指对函数进行n次求导，就求函数的高阶导数中的n阶导数。关于n阶导数的常见公式可以分成两类：一类是常见导数，也就是初等函数的特殊形式的n阶导数；另一类是复合函数，包括四则运算的n阶导数公式。

我们还来了解第一类常见的n阶导数公式，主要包括幂函数，对数函数，指数函数，三角函数常见形式的n阶导数公式。

1、幂函数常见形式是y=x^n，它的n阶导数是n! n为正整数，而对任何比n小的正整数m，幂函数y=x^m的n阶导数都等于0，包括常数函数的一阶的导数等于0，所以n阶导数也等于0

对特殊的幂函数y=1/x, 它的n阶导数是(-1)^n(n!)/x^(n+1); y=1/(1+x)的n阶导数类似的为(-1)^n(n!)/(1+x)^(n+1)；而y=1/(1-x)的n阶导数就会有所变化，它的n阶导数是(n!)/(1-x)^(n+1)

2、对数函数最常见的形式是y=lnx, 它的n阶导数正好是1/x的n-1阶导数，这是因为lnx的一阶导数就是1/x 所以y=lnx的n阶导数是(-1)^(n-1)((n-1)!)/x^n

一般的对数函数形式是log_a x, 它的一阶导数是1/(xlna), 所以n阶导数是(-1)^(n-1)((n-1)!)/(x^nlna)

3、指数函数最常见的形式是y=e^x，它的n阶导数是它本身。另一个形式e^(-x)就要考虑符号性质，它的n阶导数是(-1)^ne^(-x)

一般的指数函数是a^x，它的一阶导数是a^xlna, 所以n阶函数是a^x(lna)^n

4、三角函数最常用的是sinx和cosx sinx的一阶导数正好是cosx, 而cosx的一阶导数又正好是-sinx 为了将它们统一起来，我们记sinx的一阶导数是sin(x+π/2), 因此它的n阶导数就是sin(x+nπ/2) 又记cosx的一阶导数为cos(x+π/2), 因此cosx的n阶导数就是cos(x+nπ/2)

有了这些常见的函数的n阶导数公式，我们就可以求复合函数的n阶导数公式中直接运用了。以下为了介绍四则运算和复合函数的求导公式，设函数f(x),g(x)n阶可导，则n阶求导公式包括：

1、和差的n阶求导公式：(f+g)^(n)=f^(n)+g^(n), 及(f-g)^(n)=f^(n)-g^(n)。即和差的n阶导数等于两个函数的n阶导数的和差。

2、积的n阶求导公式：(fg)^(n)=C(n,0)fg^(n)+C(n,1)f'g^(n-1)+…+C(n,n)f^(n)g

3、商的n阶求导公式看作被除的函数乘以除的函数的倒数的积，转化为积的求n阶导数问题。

4、复合函数f(g(x))的一阶导数是f'(g(x))g'(x)，因此，从二阶导数开始，也转化为积的求n-1阶导数问题。