抽象函数的解析式

看了两题的解法均是完全正确的,解法一虽用自然数来代替实数进行运算,推广到实数是可以的,但是两种完全正确的解法却得到了互相矛盾的结论,如何来解释这种现象呢

实际上这并不奇怪,在数学上我们经常用这种方法来证明一个论断或命题不真如有一个命题A,该命题为真的情况下推出互相矛盾的命题,或者说命题A蕴含了一个矛盾,则命题A为假,也即命题A蕴含命题B,命题A蕴含命题非B,则命题A为假逻辑学中有这样一个结论,假命题可导出任意命题

对于该题的分析,设命题A：存在函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y),然后我们利用了正确的推导得出了两个互相矛盾的命题,由此可得“存在函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+ y)”是不真的,实际上该函数条件中已明显蕴含了矛盾,已有人看出当x=1,y=-1代入条件式f(x+y)=f(x)+2y(x+ y)得,f(0)=f(1),再将x=0 y=1代入条件式又得f(1)=f(0)+2,于是得到0=2的结果,这显然得出了错误的结果题中所给的函数是不存在的,该题的前提已蕴含了矛盾,由此得出两种不同的结果是毫不奇怪的,还有可能,利用正确的推导得到第3种,第4种等等结果

总之,该题条件矛盾,如果将该题改为这样:证明不存在对任意实数x,y满足条件f(x+y)=f(x)+2y(x+y)的函数,假设该函数存在,由此得出的两种矛盾的结果恰好反证了该函数不存在

这里没有用到抽象函数那一套，完全就是对称点的普通知识。设(x0,y0)是y=f(x)上任意一点，只要你求出(x0,y0)关于Ax+By+C=0对称点即可。

考虑B=0情况，此时Ax=-C, x=-C/A，对称函数是y'=f(-2C/A -x)

当B不等于0时，y=-A/B -C/B

（x0,y0)到y=-Ax/B-C/B上任意一点距离的平方为为

(x-x0)^2 + (y0 +Ax/B +C/B)^2 = [（A/B)^2 +1]x^2 + [2A/B (y0+C/B) -2x0]x + x0^2 +(y0+C/B)^2 记作 ax^2+bx+c

当x= -b/2a时，距离平方最小，可以得到(x0,y0)到Ax+By+C=0的垂线的垂足

然后根据对称点公式求出对称点即可

计算比较烦人，就不帮你写到底了

（1）映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。

（2）函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C=f(x)x∈A为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素。 （1）奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如f(-x)f(x)=0， （f(x)≠0）。

奇偶性的几何意义是两种特殊的图像对称。

（2）单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。

判断函数单调性的方法：①定义法，即比差法；②图像法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；④复合函数单调性判断法则。

（3）周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。

求周期的重要方法：①定义法；②公式法；③图像法；④利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，则T=2b-2a。

（4）反函数：（考纲中反函数的教学，只要求通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y=ax和对数函数y=loga x互为反函数（a > 0，a≠1）。） 函数的图像既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图像的工具作用。

图像作法：①描点法；②图像变换。应掌握常见的图像变换。

本单元常见的初等函数：一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。

对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法（变量代换法）解题。主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。

综述：y=arccosx是y=cosx（x∈[0，π]）的反函数，所以它的d定义域就是y=cosx（x∈[0，π]）的值域。

定义域（domain of definition）指自变量x的取值范围，是函数三要素(定义域、值域、对应法则）之一，对应法则的作用对象。

求函数定义域主要包括三种题型：

抽象函数，一般函数，函数应用题。

反函数公式

1、cos(arcsinx)=√（1-x^2）

2、arcsin(-x)=-arcsinx

3、arccos(-x)=π-arccosx

4、arctan(-x)=-arctanx

5、arccot(-x)=π-arccotx

6、arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

7、sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x

网络资料：

1求函数的解析式

（1）求函数解析式的常用方法：

①换元法（ 注意新元的取值范围）

②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）

③整体代换（配凑法）

④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）

（2）求函数的解析式应指明函数的定义域,函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义

（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用

2求函数的定义域

求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时,常有以下几种情况：

①若f（x）是整式,则函数的定义域是实数集R；

②若f（x）是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③若f（x）是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；

④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题

3求函数值域（最值）的一般方法：

（1）利用基本初等函数的值域；

（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；

（3）不等式法（利用基本不等式,尤其注意形如型的函数）

（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质

（5）部分分式法、判别式法（分式函数）

（6）换元法（无理函数）

（7）导数法（高次函数）

（8）反函数法

（9）数形结合法

4求函数的单调性

（1）定义法：

（2）导数法：

（3）利用复合函数的单调性：

（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：

①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；

②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；

③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；

（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等

（6）应用：比较大小,证明不等式,解不等式

5函数的奇偶性

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称,比较f（x） 与f（－x）的关系f（x） －f（－x）＝0f（x） ＝f（－x） f（x）为偶函数；

f（x）+f（－x）＝0f（x） ＝－f（－x） f（x）为奇函数

判别方法：定义法,图象法,复合函数法

应用：把函数值进行转化求解

6周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+T）＝f（x）,则T为函数f（x）的周期

其他：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+a）＝f（x－a）,则2a为函数f（x）的周期

应用：求函数值和某个区间上的函数解析式

y=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0

f(x)=x^n (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1) (x^n表示x的n次方)

f(x)=sinx f'(x)=cosx

f(x)=cosx f'(x)=-sinx

f(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)

f(x)=e^x f'(x)=e^x

f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)

f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0)

f(x)=tanx f'(x)=1/cos^2 x

f(x)=cotx f'(x)=- 1/sin^2 x

导数运算法则如下

(f(x)+/-g(x))'=f'(x)+/- g'(x)

(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

(g(x)/f(x))'=(f(x)'g(x)-g(x)f'(x))/(f(x))^2