简化牛顿迭代法收敛的证明

牛顿迭代法收敛有如下定理：

设已知 f(x) = 0 有根 a,f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续)

若 f'(a) != 0(单重零点),则初值取在 a 的某个邻域内时,迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到

序列 x[n] 总收敛到 a,且收敛速度至少是二阶的

若 f'(a) == 0(多重零点),则初值取在 a 的某个邻域内时,收敛速度是一阶的

记 g(x)=x-f(x)/f'(x),其中"某个邻域"可由 |g'(x)|

扩展资料：

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

一、确定迭代变量

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制

在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：

一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

-牛顿迭代法

有好几种方法，最简单的是直接看给的迭代公式中的B矩阵的谱半径，如果小于1，那么两种方法都收敛。（或者严格对角占优？好像有这一条，忘记了）

然后就是第二种方法，算雅克比迭代格式的迭代矩阵BJ的谱半径，如果小于1，那么雅克比迭代法收敛，高斯赛德尔方法不一定收敛。

第三种方法，算高斯赛德尔格式的迭代矩阵BG的谱半径，如果小于1，那么高斯赛德尔迭代法收敛，雅克比方法不一定收敛。

BJ和BG的格式参考课本吧