∑m从0到无穷冲激信号(n-3m)是周期信号嘛

定义：在（-∞，+∞）区间，每隔一定时间T（或整数N），按相同规律重复变化的信号。

     11 连续周期信号：

     12 离散周期信号：

2、判断 

     21 连续的正弦（或余弦）函数（或）一定是周期信号，其中 

     22 离散的正弦（或余弦）序列（或），有一下结论：

           （1）仅当为整数时，正弦序列才具有周期;

           （2）当为有理数时（例），正弦序列仍具有周期为；

           （3）当为无理数时，不具有周期性

      23 两个周期信号的周期比为有理数，则该信号为周期信号，周期T=T1、T2的最小公倍数

      24 两个离散周期序列之和一定是周期序列，其中周期N=N1、N2的最小公倍数

3、例题

      例题1、判断：（1） 和（2） 的周期性

                   解：（1）∵    ; 

                                   ∴      为无理数，故该信号为非周期信号

                           （2）∵  

                                   且为非周期信号，则非周期+周期=非周期

                                    ∴ 该信号为非周期信号

      例题2、已知信号 , 求该信号的周期为

                   解：∵  ，

                          ∴  

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《信号与系统学习笔记》—周期信号的博里叶级数表示（一）

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自相关函数，信号在时域中特性的平均度量，它用来描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻s，t的

取值之间的相关程度，其定义式为

自相关函数的主要特点：

1、自相关函数为偶函数，其图形对称于纵轴。

2、当s=t 时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即

3、周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。

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信号处理中，自相关可以提供关于重复事件的信息，例如音乐节拍（例如，确定节奏）或脉冲星的频率（虽然它不能告诉我们节拍的位置）。另外，它也可以用来估计乐音的音高。

非正式地来说，它就是两次观察之间的相似度对它们之间的时间差的函数。它是找出重复模式（如被噪声掩盖的周期信号），或识别隐含在信号谐波频率中消失的基频的数学工具。它常用于信号处理中，用来分析函数或一系列值，如时域信号。

-相关函数

-自相关函数

以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。

对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(−i)。连续型自相关函数为偶函数

当f为实函数时，有：

R_f(-\tau) = R_f(\tau)\,

当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足：

R_f(-\tau) = R_f^(\tau)\,

其中星号表示共轭。

连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时 τ，均有 |R_f(\tau)| \leq R_f(0)。该结论可直接有柯西-施瓦兹不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。

周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。

两个相互无关的函数（即对于所有 τ，两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。

由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。

连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除 τ = 0 之外的所有点均为0。

维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对：

R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) e^{j 2 \pi f \tau} \, df

S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) e^{- j 2 \pi f \tau} \, d\tau

实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式：

R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) \cos(2 \pi f \tau) \, df

S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) \cos(2 \pi f \tau) \, d\tau

自相关函数，信号在时域中特性的平均度量，它用来描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻s，t的

取值之间的相关程度，其定义式为

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1、自相关函数为偶函数，其图形对称于纵轴。

2、当s=t 时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即

3、周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。

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信号处理中，自相关可以提供关于重复事件的信息，例如音乐节拍（例如，确定节奏）或脉冲星的频率（虽然它不能告诉我们节拍的位置）。另外，它也可以用来估计乐音的音高。

非正式地来说，它就是两次观察之间的相似度对它们之间的时间差的函数。它是找出重复模式（如被噪声掩盖的周期信号），或识别隐含在信号谐波频率中消失的基频的数学工具。它常用于信号处理中，用来分析函数或一系列值，如时域信号。

百度百

对于地质现象或地质过程，数学模拟就是一种有效的试验方法，它用一种数学模型来模仿、拟合地质现象或地质过程。数学模拟往往是抓住主要的地质条件和地质特征来构造各种数学模型的。数学模型有多种多样，大致可分为4类：确定性静态模型、确定性动态模型、随机性静态模型及随机性动态模型。但实际地质工作中遇到的现象往往既有确定性又有随机性，故还应增加这类混合性的模型。由于许多地质现象、地质过程都带有随机性，故随机性的数学模型是常要用到的。用这种模型进行模拟，一般总要先用计算机产生具有一定统计特性 （如服从一定概率分布，具有给定的数学期望和方差） 的伪随机数，然后再用各种数学运算来解决各类问题，这也就是通常所称的蒙特卡洛法 （是一种统计试验法）。

1 随机模拟概念

任何未知数z都可看成一个随机变量 （RV） Z。这个随机变量的概率分布描述了有关z的不确定性。随机变量是按照一定的概率 （频率） 分布能够取得不同数值的变量，一般随机变量用大写字母Z表示，而对应的取值用小写字母z表示。随机变量的模型，或更确切地说，随机变量的概率分布，通常依赖于所处的空间位置，因此我们使用符号Z（u）来表示，u是位置坐标矢量。随机变量也依赖于已有的信息，也就是说，随着未取样值Z（u）的信息的增加，它的概率分布会发生变化。

连续随机变量Z（u）的累积概率分布函数 （cdf） 可以表示为：

F（u；z）＝Prob｛Z（u）≤z｝

当cdf与某些已有的信息有关时，如有n个相邻的样品数据点Z（uα）＝z（uα），α＝1，2，…，n则对于随机变量Z（u）应采用条件累积分布函数 （ccdf）：

F（u；z｜（n））＝Prob｛Z（u）≤z｜（n）｝

如果是离散型变量Z（u），则可用k个不同的值 （k＝1，2，…，K），类似的条件累积分布函数为：

F（u；k｜（n））＝Prob｛Z（u）＝k｜（n）｝

cdf表征未取样值z（u）不确定性的先验概率分布；ccdf则为在已具有了信息样品集（n） 之后，关于随机变量的后验概率分布。任何具有预测功能的统计或模拟算法都是通过不断修改先验概率分布而获得后验分布的过程，只是有的算法以此为目标，而有的则是直接或间接间的以此为目标。值得注意的是，条件累积分布函数 （ccdf） 是一个关于空间位置、样品多少、数据的位置及样品数值的函数。

通过ccdf，可以导出多个符合ccdf均值的关于未取样点z（u）的最优估计模型，也能导出多个概率区间的实现。更进一步，通过一个ccdf就可以用蒙特卡洛抽样给出任意数量的模拟输出值z（l）（l＝1，2，…，L）。后验ccdf的计算和输出值的蒙特卡洛实现是所有随机模拟算法的核心。

随机模拟是用随机模型建立可选择的、等概率的、高精度的Z（u）空间分布的模型的过程。每个实现用上标l表示：｛zl（u），u∈A｝。如果某些位置上有硬数据且与模拟实现一致zl（uα）＝z（uα），则该模拟为条件模拟，否则为非条件模拟。

随机模拟通过提供多个可选的、等概率的、高精度的储层结构属性参数的空间分布，比较各个图像上的差异性 （变化性） 来恢复储层属性参数在空间的细微变化。它与插值有着较大差别，主要表现在3个方面：(1)插值是局部最优估计，它只考虑局部估计值的精度，而不考虑估计值的空间相关性；而随机模拟强调结果的整体相关性，它在整体上对储层属性空间提供了不确定性的度量。(2)插值具有光滑效应，忽略了储层属性参数的细微变化，它适合于变化不太剧烈的油气藏参数的估计和预测；而随机模拟通过在插值模型中系统地加上 “随机噪音”，反映出储层属性参数的细微变化，更好地表现了真实曲线的波动情况。(3)插值法只能产生一个确定性的模型；而随机模型中，可有多个实现 （模型）产生，这些实现 （模型） 的差别正是储层参数在空间上不确定性的反映。

2 条件模拟原理

在地质统计学里，研究的对象是区域化变量，也具有随机性，故进行数学模拟也要用到蒙特卡洛法。不过它比传统的统计模拟要求的条件还高一些，不但要求伪随机数服从一定的概率分布，具有给定的数学期望和方差，而且还要保持一定的空间自相关性，即保持与实际数据有相同的协方差函数或变差函数。这是因为区域化变量不仅有随机性的一面，而且还有空间结构性的一面。这就是地质统计学里所说的模拟，或叫非条件模拟。

条件模拟是指在上述模拟中再增加一个条件，即要求在各观测点处的模拟值均等于该点处的实测值。这种要求也叫做把模拟条件化 （或叫把实测数据条件化），故未经条件化的模拟就叫非条件模拟。

条件模拟是地质统计学里特有的内容，可以说是一种新的蒙特卡洛法。它比起传统的蒙特卡洛模拟有几个特点：(1)它能保持变量的空间自相关函数不变，因而更适宜应用于区域化变量的模拟；(2)它使观测点处的模拟值等于实测值，因而观测点越多，则模拟越接近客观实际；(3)它有可能实现三维空间的模拟，因为它提出了 “转向带” 法可以很容易地把一维模拟扩展到三维模拟，节省了大量内存和机时。

总之，条件模拟在地质统计学中占有很重要的位置，它与克里格估计配合使用可以解决地质、采矿中许多实际问题。

设Z（x）为一满足二阶平稳假设的区域化变量，E［Z（x）］＝m，并存在协方差函数C（h）及变差函数γ（h）。要想求Z（x）的条件模拟ZSC（x），就是要找出与Z（x）同构的区域化变量ZSC（x）的一个现实，且在实测点上模拟值等于实测值，即：

ZSC(xa)=Z(xa)

所谓同构是指ZSC（x） 与Z（x） 有相同的数学期望和相同的C （h） 或γ （h） 及分布直方图。

首先，我们考虑在任一点x点处的真实值Z（x），与其克里格估值 它们之差 是个未知的误差，因为Z（x）本身也是未知的。于是，Z（x）可表示为 （x）与这误差之和：

油气田开发地质学

克里格法有一个特殊性质，即克里格误差 正交于 （独立于） 克里格估 或即：

油气田开发地质学

我们再考虑一个与Z（x）独立且同构的区域化变量ZS（x） （实为Z （x） 的非条件模拟），当给定ZS（x）的一个实现后，在原观测点xa上的值ZS（xa），a＝1，2，…，n就是已知的了。当我们将克里格法应用于这同一数据构形ZS（xa）上时，就将得到克里格估值

油气田开发地质学

由于Z（x）与ZS（x）同构，且数据构形相同，故其权系数λα也一样，即：

油气田开发地质学

油气田开发地质学

油气田开发地质学

我们可以证明，ZSC（x）就是我们所要求的Z（x）的条件模拟，它满足条件模拟的一切条件且是可以实际求出来的。

上式可写成：

油气田开发地质学

或

油气田开发地质学

这就是说，要求条件模拟值ZSC（x），先求一个非条件模拟值ZS（x），再对在实测点xα上的差值［Z（xα）-ZS（xα）］进行克里格估计，最后把两者相加即可得ZSC（x）。这样可减少一次解克里格方程组的运算。

3 随机模拟方法简介

随机模拟使用的模型可归纳为两大类，即离散模型和连续模型。离散模型用来描述离散的地质特征和储层大尺度的非均质性。如描述砂、泥岩的空间位置、分布范围以及断层和裂缝的分布，表征各种沉积相或岩相的空间分布等。连续模拟方法用来描述储层连续变化的地质现象，如储层物性、地震速度、地质界面的埋深等。在某些情况下，需要将离散模型和连续模型结合起来，构成两阶段模型。其中，离散模型描述储层大尺度的非均质性，连续模型描述储层小尺度的变化性。

目前随机模拟在油气藏建模中使用很广，方法较多，主要有：布尔模拟、序贯高斯模拟、序贯指示模拟、截断高斯模拟、概率场模拟、退火模拟、分形随机域模拟、马尔可夫随机场模拟、镶嵌过程模拟等。下面简单介绍应用较广、发展比较成熟的几种模拟方法：

◎布尔模拟方法 （Boolean simulation）：该方法是随机模拟方法中最简单的一种，属于非条件模拟。它主要用于建立离散型模型，如砂体格架平面、剖面或者三维空间分布模型。因此，这种模拟可以用于模拟砂体在空间的形态、大小、位置及排列方式。

◎序贯高斯模拟方法 （Sequential Gaussian simulation）：基于序贯模拟，各模拟节点的ccdf通过克里格均值和方差来确定。算法稳健，广泛用于产生连续高斯分布变量的实现。要求数据为正态分布，否则用正态得分转换变为正态分布。

◎序贯指示模拟方法 （Sequential indicatorsimulation）：由AGJournel和FAlabert于1978年提出。可以模拟连续变量和类型变量。除了各点的ccdf由指示克里格确定，而不是基于高斯分布假设通过克里格均值和方差来确定外，它与序贯高斯模拟几乎相似。

◎截断高斯模拟方法 （Truncated Gaussian simulation）：该方法首先采用指示模拟方法生成一个高斯随机场，然后对高斯值进行截断以得到类型变量的模拟结果。这种方法易于使用，快速、灵活，可用于模拟离散的特征，尤其适合于模拟相序简单的沉积储层，如三角洲。

◎概率场模拟方法 （Probability field simulation）：为了节省机时，将局部ccdf的估计与概率场的模拟分开。用一个模拟的反映空间相关性的概率场来对局部累积分布函数（lccdf） 作后处理，lccdf可由任何估计方法获得。在概率场模拟中，用于从lccdf上采样的概率值是互相关的。在概率场模拟中，用户自己可以控制相关性，通常利用同一空间相关模式作为被模拟参数的相关模式。

◎分形随机域模拟方法 （Fractal simulation）：是一种估计加上模拟误差 （ESE） 的模拟方法。基于地质现象满足分形特征的假设，通过分形维来定量描述分形分布的几何学特征 （间断性，即不能充填空间）。在分形模拟的非条件模拟中，每个值是许多正弦、余弦函数的加权平均。一旦生成非条件模拟，在具原始数据的节点处采样。这种取样提供给我们的数据构型与用于原始数据插值的构型相同，但数值却可能不同。对模拟的样品插值，对比光滑后的图与无穷采样的非条件模拟，确定原始数据点处二者间的差异。

根据题意可以看出，x（n）是实周期序列，首先写出周期序列的自相关函数rxx（m）表达式，如下图所示。

然后根据上述公式，写出rxx（m）的初步表达式，如下图所示。

接下来进行拆项，化简上述式子。

由于sin（wm）与cos（wn）是正交的，故在一个周期内，最后一等式的第二项为0。

然后可以把0代入上式，可得rxx（m）的等式。

又因为余弦信号在周期的整数倍中求和值为0，故得到rxx（m）=1/2cos（wn）。

最后可以总结出，余弦序列的自相关函数也是余弦序列。

1在0点的值最大；之后变小,

2若信号中有周期成分,则自相关函数也有周期性,且不衰减!

如：正弦信号的自相关函数为余弦函数；

3若信号中无周期成分,自相关函数一般衰减到均方值（未去直流）

或0(在信号中去掉直流成分)；