拉普拉斯变换求原函数

看见你这个题，我凌乱了~~~~

方法有二，不过就是没有卷积的方法，用卷积去求，一般是闯运气的，构造的原函数不好的话，卷积结果与所得结果很难相符~~~

法一、整理原分式，即分子分母同乘以pc，然后裂项，即展开成1/（p+a)+p/(p²+b)的形式，然后再进行裂项，可能会出现复数，我没具体计算，即都变成分母是p的一次式的分式和常数的组合，然后再逆用拉斯变换的公式，也就是e指数的拉斯变换，可以比较简单的得到~~~

法二、利用留数定理，直接求吧，留数定理是万能的~~~~

以上，OK。。。

再看了一下题目，如果有L[sinwt]=w/(w²+p²)的提示，那估计出题者的本意是让你用第一种方法进行求解，即用分式裂项求解，而且只要进行一步裂项就可以了，也就是出现1/（p+a)+p/(p²+b)的形式，便可以直接逆用公式了~

具体回答如下：

f(t)是一个关于t的函数，使得当t<0时候，f(t)=0；s是一个复变量；一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e' dt；F(s)是f(t)的拉普拉斯变换结果。

扩展资料：

如果对于实部σ >σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。

对给定的实变量函数 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上，常称F(s)为f(t)的象函数，记为F(s)=L[f(t)]；称f(t)为F(s)的原函数，记为f(t)=L-1[F(s)]。

函数变换对和运算变换性质利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质。

拉普拉斯（Laplace）变换是求解微分方程的一个有力的工具，是将微积分运算转变为乘除运算，大大提供运算效率。

用matlab的实现拉普拉斯变换的函数是Laplace（），其逆变换是iLaplace（）。

例1：求函数 y=sin2t 的 Laplace 变换。

syms t f F

f=sin(2t ) %原函数

F=laplace(f) %象函数

F =

2/(s^2 + 4)

例2：求函数 1/(s(s²+5)) 的 Laplace 逆变换。

syms s f F

F=1/(s(s^2+5)) %象函数

f=ilaplace(F) %原函数

f =

1/5 - cos(5^(1/2)t)/5

例3：求方程y"+2y'-3y=exp(-t),满足初始条件y(0)=0,y'(0)=1的解。

解：对方程的两边取拉氏变换，并考虑到初始条件，则得

s²Y(s)-1+2sY(s)-3Y(s)=1/(s+1)

以下用matlab求解。

Ys=solve('s^2Y-1+2sY-3Y=1/(s+1)','Y')；

simplify(ilaplace(Ys))

ans =

(3exp(t))/8 - exp(-3t)/8 - exp(-t)/4

求解得微分方程的解

y(t)=(3exp(t))/8 - exp(-3t)/8 - exp(-t)/4

拉斯变换的重要性质包括：尺度变换、时移、频移、微分、积分、卷积、初值定理与终值定理。

它是一个线性变换，意义为可将一个有引数实数t（t≥0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。

利用拉氏变换变换求解数学模型时，可以当作求解一个线性方程，换而言之拉氏变换不仅可用来将简单的时域信号转换为复数域信号，还可以用来求解控制系统微分方程。拉氏变换是将时域信号变为复数域信号，反之，拉氏反变换是将复数域信号变为时域信号。

意义和作用：

如果对于实部σ >σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。

习惯上，常称F(s)为f(t)的象函数，记为F(s)=L[f(t)]；称f(t)为F(s)的原函数，记为f(t)=L-1[F(s)]。

函数变换对和运算变换性质利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。

分段连续是比连续更低等级的，如果连续更好

因为拉普拉斯变化满足线性关系，积分可以分段进行

对f'(t)进行拉普拉斯变换时需要用到积分，只要分段就好

由于f(t)在[0,+∞）上连续，最后将分段积分后的f'(t)进行拉普拉斯变换加和就得到L[f'(t)]=pF(p)-f(0)