关于概率论三个题

某型号飞机雷达发射管的寿命X（单位，小时）服从参数为0005的指数分布

则f(x)=0005e^(-0005x),x>0；f(x)=0,x<=0

1发射管寿命不超过100小时

P(X<=100)=1-e^(-05)=0393469340287367

2，发射管寿命超过300小时

P(X>300)=e^(-15)=022313016014843

3，一只发射管寿命不超过100小时，另一只在100至300小时之间

P(100<X<300)=e^(-05)-e^(-15)=0170339180138937

所以概率为2P(100<X<300)P(X<=100)=0134046489668717

公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过001设计的，设成年男性身高X，单位，厘米。服从正态分布N(170,6^),

设车门高度为K，则P(X>K)<=001

P(X>K)=1-P(X<=K)<=001,P(X<=K)>=099,P[(X-170)/6<=(K-170)/6)>=099,φ(K-170)/6)>=099,K-170)/6>=233,

所以K>=18398

车门最低高度应为18398厘米。

分布函数F（X）= 1-E ^（-1000X）

概率密度F（x）的1000E ^（-1000X的）,x> 0时

F（x）的= 2000E ^（ - 2000X ）,x> 0时

函数f（x）F（X）= 1-E ^（-1000X）,x> 0时

F（X）= 1-E ^（ -1000X）,X> 0

F（X）= 1-E ^（-2000X）

E（X）

假定系统只有正常和失效两种状态。系统在失效前的一段正常工作时间称为寿命。由于失效是随机现象，因此，寿命可用非负随机变量X 及其分布函数F(t)=P{X ≤t}（见概率分布）来描述。

对失效后不加修复的单元，其可靠性用可靠度来刻画。单元在时刻t的可靠度R(t)定义为:在一定的工作条件下在规定的时间0，t中完成其预定功能的概率。因此,若单元的寿命为X，相应的寿命（或失效）分布函数为F(t)，则R(t)=P{x>t}=1-F(t),其中t≥0。根据上式的概率含义，可靠度R(t)又称为生存函数。

一个生存到时刻t的单元，称之为有年龄t。在其后长度为x的区间中失效的条件概率为 若 存在,则r(t)称为时刻t的(条件)失效率。当Δt很小时,r(t)Δt可解释为单元生存到t时刻的条件下,在(t,t+Δt中失效的概率。当X是连续型随机变量，即F′(t)=ƒ(t)存在时,则有r(t)=ƒ(t)/R(t)，R(t)>0,此时r(t)与R(t)之间有如下的基本关系R(t)= 因此，F(t)、R(t)或r(t中任意一个都可用来描述不可修复单元的寿命特征。

对失效后可修复的系统，其状态随时间的进程是正常与失效相交替的一个随机过程。它的可靠性由不同的指标来描述:系统首次失效前的时间T的概率分布及均值；任一时刻t系统正常的概率，即可用度；(0,t中系统失效次数的分布和均值等。

寿命数据统计分析、寿命分布及分布类、结构函数、网络可靠性、故障树分析、复杂系统可靠性分析以及可靠性中的最优化等，是可靠性数学理论的主要研究内容。

原件服从指数分布设参数为λ，则其概率密度函数为f(x)=λe^(-x) 分布函数为F(x)=1-e^(-λx)

其均值EX=1/λ=1000

于是参数λ=1/1000=0001

某个原件使用在1000小时内损坏的概率即

P(X≤1000)

=F(1000)-F(0)

=1-e^(-0001×1000) - (1-e^0)

=1-1/e

第二步求3个原件至少损坏1个的概率

3个原件相当于做了3次贝努力试验，n=3

每次损坏的概率为1-1/e p=1-1/e

至少损坏一个不容易求，转求逆事件--没有损坏 k=0

于是 3个原件都没损坏的概率

P(X=0)=p^k ×q^(n-k) =p^0 × (1-p)³=1×(1-(1-1/e))³=1/e³

于是所求3个原件至少损坏1个的概率

P(X≥1)=1-P(X=0)=1-1/e³

解答完毕

每一个的分布函数F(X)=1-1000/X

F(1500)=1/3

所求概率C(5,2)(1-1/3)^2(1/3)^3=40/273

单纯的讲概率密度

没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

x>0,y>0时，

F(x,y)=P(X<=x,Y<=y)=P(0<X<=x,0<Y<=y)=1-exp{-05x} - exp{-05x} + exp{-05(x+y)} x>0,y>0

x>0时，

F（x)=P(X<=x)=P(0<X<=x)=P(0<X<=x,0<Y<+∞)=F(x,+∞)=1-exp{-05x} - exp{-05x}

x<=0时，F(x)=0

解毕