一道概率论问题

先求分布函数

F(x)=0,x<1000

F(x)=1-1000/x,x>=1000

再求一个元件使用寿命小于1500小时的概率

P(X<=1500)=F(1500)=1-2/3=1/3

由于这五个元件寿命相互独立

所以设恰好有两个坏掉为事件A

则满足波松分布

P(A)=(C5,2)(1/3)^2(2/3)^3

=80/243

希望对你有帮助

一、海上油田风、浪、流、潮年极值要素计算

以秦皇岛32-6油田为例，海域风、浪、流、潮等年极值要素的分析计算，采用数值计算后报方式，以197\01993年间影响该海域的台风及强寒潮天气过程下的历史海面气压场及天气图作为基础资料，采用中国海油与青岛海洋大学合作开发的数值计算模式，即海面风场计算模式（包括二层诊断模式、行星边界层的动力学模式、台风模式）、浅水浪流耦合海浪数值计算模式、水位和流场的三维模式，以1/8°网格距划分计算区域，由海面风场数值计算模式计算出每年影响该海域的强寒潮及台风天气过程下各格点的风速。由浪流耦合海浪数值模式、水位场和流场的三维模式计算出各格点的波高、周期、水位、风增、减水等要素，作为推算设计环境要素的样本序列。然后依据样本序列采用WEIBULL分布推算工程点各重现期设计波要素值。

（一）强天气过程个例选取

在1970-1993年间的24年里，有120多个强天气过程掠袭渤海，但能够影响秦皇岛（QHD)32-6油田海区风、浪、流及水位产生较大变化的，只有82个天气过程，平均每年约有3或4个天气过程。它们不可能都造成年极值，只有逐个对天气过程进行模拟计算后，才能确定哪些是可取的天气过程。

（二）模拟结果衍生的其他结果

110m高度处的各种平均风速

根据海洋工程要求，依据API标准，将10m高度处平均风速的年极值按下列诸式换成同一高度的各种平均风速年极值：

1h平均风速＝30min平均风速/103

3h平均风速＝1h平均风速/105

10min平均风速＝1h平均风速×107

1min平均风速＝1h平均风速×120

3sec平均风速＝1h平均风速×160

2．波浪各要素间的关系

波浪模拟给出的是有效波高Hs及对应的周期Ts。

a．假定单个波高H与有效波高Hs满足瑞利分布：

中国海洋石油高新技术与实践

F(H）是波高≥H的累积概率，则最大单个波波高Hmax与Hs有如下关系：

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N构成Hs的波序列波个数。N是一定时间内大浪处于平稳状态的个数。我们都知道，大浪的平稳过程持续时间不是很长，在此时间内若波的平均周期 ，取N=800个波，则持续时间τ＝10s×800=8000s=222h，如果这个时间内的海浪满足平稳过程的要求，则下式为：

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最大单个波高Hmax按式（17-13）计算。

b．特征周期：

平均周期 是谱峰周期S（ωp）对应的圆频率）； 谱峰周期

最大波的周期Tmax=106Ts（据Goda提供的关系式）。

（三）多年一遇高、低水位

多年一遇极值水位的推算，对于具有长期水位观测的地点来说，可利用实测资料的年极值高、低水位和年极值风暴增、减水，依长期极值分布求得。对于不具备长期水位观测的地点，多年一遇风增水、风减水可利用对天气过程模拟得到的年极值风增水和风减水推算出来，而多年一遇的高水位和低水位只能通过多年一遇的风增水和风减水与特征水位（例如最高天文潮位和最低天文潮位）的线形组合求得。

在渤海海区，主要水位站由实测潮位资料获得的多年一遇高、低水位和多年一遇风增（减）水，以及最高天文潮位、最低天文潮位如表17-5所示。

选用以下形式的线形组合，利用多年一遇风增、减水和最高天文、最低天文潮位推算出多年一遇高、低水位：

多年一遇高水位＝072m（多年一遇风增水＋最高天文潮位）

多年一遇低水位＝091m（多年一遇风减水＋最低天文潮位）

表17-5　渤海潮位观测站多年一遇高、低水位及天文最高、最低潮位

其结果与实测水位推算的多年一遇高、低水位较接近，表17-6列出了100年一遇的结果作为比较。因此，对于不具备长期实测水位的地点，可利用这种形式的线性组合求得接近实际的多年一遇高、低水位。

为了能利用上述方法求得多年一遇高、低水位，首先需要获得可靠的多年一遇风增、减水，表17-7给出了据模拟的强天气过程所得的风暴增水、风暴减水推算的秦皇岛和塘沽多年一遇风暴增水、风暴减水与用实测资料推算的结果，发现两种结果相当接近，从而可以利用上述线性组合获得QHD32-6油田可信的多年一遇高、低水位。

表17-6　渤海主要水位观测站高、低水位及风减水推算值

表17-7　秦皇岛、塌沽实测与计算出的风暴增减水的对比结果

最高（低）天文潮位，利用在渤海潮波数值模拟得到的8个主要分潮调和常数（M2,S2, N2,K2,K1,D1,P1,Q1）以及邻近地点的长期分潮Sa的调和常数，推算19年潮位获得。潮位表达式为：

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根据主要分潮调和常数，利用费拉基尔斯基方法推算理论深度基准面和BPF方法推算近最低潮面。为了保持统一取理论深度基准面为海图深度基准面。

二、不同重现期环境要素设计参数推算

依据QHD32-6油田工程设计需要，运用上述1970-1993年的强天气过程数值计算出风、浪、水位、海流极值的样本序列，采用Weibull极值概率分布推算多年一遇的设计参数。

Weibul1概率分布：

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式中：a,b,c为待定参数，a＞0，为位置参数；b＞0为尺度参数；c＞0为形状参数。a=0时，上式为二参数Weibul1分布。对上式取对数可得：

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将上式移项得：

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在Weibull机率格纸上，ln(x-a）为横坐标，ln[-1n(1-F(x））］为纵坐标。

改写上式得：

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由于1n(x-a）中必须x＞a，取a=Xn，即以序列中最小要素为位置参数，然后用最小二乘法对E、D两参数进行参数估计。这样多年一遇环境要素设计参数由下式求得：

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从而就可以计算出QHD32-6油田海域风速、波浪、海流及潮位多年一遇工程设计参数。

三、风、浪、潮、流联合概率计算技术

风、浪、潮、流等近岸灾害性海洋动力环境直接引起近海、海岸工程、河口海岸城市的灾害性破坏，以及人员伤亡，从而造成巨大的经济损失，给近岸带灾害动力环境的优化评估方法，首先必须考虑它的“同时出现”，“同时作用”于近海和海岸工程。因为一场台风（或风暴）过程，其最大的危害就是各种灾害性动力环境同时出现所引起的后果。但是如何考虑“同时出现”特点，国内外传统的评估方法都是分别对各种灾害动力环境进行概率分析，选用不同重现期的动力因素，再把它们叠加起来，作为近海和海岸工程极端海况的评估方法，并用作“设计标准”。例如在海岸工程设计中分别采用五十年一遇的波高和五十年一遇的潮位作为设计标准，而在近海工程设计中分别采用百年一遇波高，百年一遇风速和百年一遇海流作为设计标准。很明显，近岸带灾害动力环境各因素的某种概率条件下的极值组合在一起同时出现的事件，是一个小概率事件，用以作为设计标准，是非常保守的，特别是我国一些油田属于“边际油田”，采用过高的灾害性动力环境作为设计标准，导致过高的经济投入，将会使很多油田失去开发价值，因此传统的评估方法是不可取的。

关于风、浪、潮、流联合出现的极端海况国际上广泛使用的规范、DNV规范等都作了相应规定。我国海洋石油开发工程将规范作为行业标准，此规范针对极端海况提出了三种不同的解决途径：

第一，分别采用百年一遇的风速、百年一遇的波高和百年一遇的海流速度作为设计标准；

第二，采用百年一遇的波高以及与此伴生的风速和流速；

第三，采用联合概率为百年一遇的同时再现的风、浪、流值。

API规范指出，第一种方法过于保守，建议采用第二种方法。但又在规范中指出，“与百年一遇波高伴生的风、流值”的“伴生”这一词是含混不清的。第三种方法，由于联合概率是非单一解，使用起来有不少困难。因此在海洋工程界至今仍大多采用第二种方法。

本项研究的出发点认为，研究同时出现于一次大风或台风过程中的风、浪、流联合概率是正确而实用的途径，因为第一种方法实质上是将风、浪、流视为互相独立的随机变量，各自采用百年一遇值的概率作为三者概率的乘积，这是不合理的。第二种方法的缺点，一为API规范指出的“associated”一词是“含混不清”；二为百年一遇的波高及伴生的风速和流速（二者皆有相应的概率水平）三者同时出现的联合概率必然为百年一遇以上的重现期。本研究的若干结论也证明了这一点。

（一）联合概率随机模拟方法

多维联合概率的推求，实际上就是求解公式（17-20）:

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式（17-20）只有当随机变量均为正态分布时才可解析求解，对非高斯函数，具有不同相关性的多维随机变量的联合概率密度函数，用随机模拟法是行之有效的。

随机模拟法是基于现实资料和一些假定，通过计算机来重复某些过程的方法。常用的模拟求解法是蒙特卡洛法，但M-C方法求解较小失效概率时耗时巨大，且结果精度不高，必须寻找新的方法。重点抽样法是减少机时、降低方差的一种行之有效的方法，其基本原理是集中对分布的最重要的区域抽样，即对失效概率做出主要贡献的那部分抽样，而不是扩展到整个定义域均匀抽样。

图17-1　二维联合概率示意图

为设计点坐标；fx(x）为联合概率密度； 为权函数密度

为了说明重点抽样法的特点，图17-1以二维情况示意，图中贯穿x1、x2平面的曲线，代表模拟联合概率状态的联合概率曲线，曲线右边是超过联合概率的分布；左边是低于联合概率的部分，曲面上可找到一个距离原点最近的点，称为“设计点”， 为其坐标。重点抽样法的特点，在于围绕设计点附近抽样；其另一个特点是引入了权密度函数hy(x），通过它将模拟引向以设计点为中心的区域，这样才能达到降低模拟结果方差的目的。

公式（17—20）的计算公式为：

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式中：

概率密度函数fx(x）代表 权密度函数特殊情况下真正的联合概率密度。

由上式可见，权密度并不重要，因此，联合概率的期望值可写为：

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式中：N为模拟次数； 为第I次模拟向量。

优点在于无须考虑基本随机变量的分布类型而适用于原始空间。对具有相关关系的随机变量，基本随机变量转换为独立的标准正态变量向量是比较困难的。但是，实际上联合概率的计算使用原始分布，任何非高斯分布是不会影响到加权样本的。在使用任何非高斯分布和相关的随机变量时，需进行下列变换：

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式中：Fxi(ixi）是基本随机变量x的原始累积分布函数；Φ－1(）是标准高斯累积分布函数的反函数。假定Z为标准正态，则联合概率密度函数可写为：

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式中：Zi为式（17-23）的计算结果；φ（）为标准正态密度函数；φn(Z,R´）为均值0、标准差为1的多维标准高斯密度函数；R´为 构成的修正相关矩阵； 是由相关系数 系列定义的值。

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对每一对边缘分布，式（17-25）可迭代求解。

应该指出，边缘分布密度和协方差对非高斯随机变量的联合密度并非为一对一定义，然而对大多数情况可利用的信息仅仅局限于边缘分布和协方差。因此，任何适合的模式，只要不与资料矛盾，都是可采用的，其使用范围依据变量间的相关系数，而无须考虑对任何模式的数学依据。

（二）联合概率随机模拟软件开发

基于重点抽样法的联合概率随机模拟JOPAP软件包括两部分。

1．设计点的计算

这样随机点的抽样能在以设计点为中心的有效区域内进行，可以减少计算时间，提高模拟效率。

2．重点抽样并计算联合概率

在执行主程序前，需针对所要计算联合概率的实际问题的不同，设计出不同的联合概率模型的基本方程，称之为极限状态方程。模拟的极限状态方程为：

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调整不同的设置值（A1,A2,A3）即可得出不同的联合概率，如将Ai分别赋予各自Xi变量独立统计时所得的特征值（如百年一遇值、五十年一遇值），则可得各变量Xi超过各自百年一遇（五十年一遇）值联合出现的概率。本研究已经完成了上述软件的研制工作。

（三）联合概率随机模拟非单一解的求解方法及其工程应用

最大波高及相应同时出现的风速、流速联合概率计算，对于固定式海上结构由荷载分析可知，当采用最大波高与相应同时出现的风速、流速作为随机模拟样本时，其联合作用下产生的荷载效应对平台结构最为不利，如以下计算结果所示。

1．求各要素单独的百年一遇极值

波高、风速、流速的分布通常符合某种概率分布，如冈贝尔分布（Gumbell distribution）、威布尔分布（Weibul1 distribution）、对数正态分布（Log-Normal distribution）等。因此可根据已有多次大风过程中波高、风速、流速的数据资料，进行上述分布的拟合。可根据最大波高或选取相应的一组风浪流组合，从而形成以波为主及以流为主和以风为主的风、浪、流序列。每个序列都进行冈贝尔分布、威布尔分布及对数正态分布的适线计算。通过分布曲线拟合优度检验后，采取一定判别标准来进行判别，最终可以确定每一种组合中相应的风速、波高及流速的分布形式。这里使用柯尔莫哥洛夫检验法，即常用的K-S检验法进行检验。并以频率绝对离差和离差均方和最小为判别标准。所得各要素分布形式的计算结果见表17-8。

由表17-8中还可看出一种似乎“矛盾”的现象，即以流最大序列统计所得的百年一遇海流值，反而小于以风最大序列统计所得的百年一遇海流值，而且以浪最大序列统计所得的百年一遇波高值，小于以风最大序列统计所得的百年一遇波高值。这一现象可以解释为海流速度序列（波高序列）的方差较小，因此尽管以流（浪）为主海流（波高）原始序列值都大于以风为主的海流（波高）原始序列值，但其概率分布曲线较平缓，所以百年一遇值反而低于以风为主的海流（波高）百年一遇值。

表17-8　风、浪、流各自的分布形式及百年一遇极值

2．联合概率随机模拟分析方法

风、浪、流三种环境要素之间是相关而不是独立的，联合概率法以“风暴”或“台风”过程中同时出现的风、浪、流作为随机分析的基本系列，从而得到某组风、浪、流组合及相应的概率水平。即求解公式：

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式中：g(x）＜0表示失效域。

对于非高斯且相关的多维随机变量，用随机模拟法求解该式可以收到很好的效果。随机模拟法是基于现实资料的某些特征和假定，通过计算机来实现某些过程的方法，蒙特卡洛法是其中的一种。它的基本思想是建立一个概率模型，使其数学期望等于结构的失效概率，然后对这个模型进行随机抽样，最后用子样均值估计失效概率。但求解较小联合概率时，直接用蒙特卡洛法需耗费巨大机时，且会产生较大误差。因此蒙特卡洛法只适用于失效概率不太小的情况。而“重点抽样法”可提高蒙特卡洛法抽样的效率，它的基本原理是集中对分布中的最重要区域进行抽样，即对联合概率做出主要贡献的部分抽样，而不是扩展到整个定义域均等的抽样。在用随机模拟法求解公式（17-26）的过程中，存在非单一解问题，即应用“重点抽样法”的随机模拟程序，以海洋环境要素作用下风浪流的分布形式、均值、方差及相关系数矩阵为输入条件，经过计算，可得到很多组相当于联合概率为百年一遇的海洋环境要素组合。解决非单一解问题，需有一定的控制条件，一般以响应最大为判断标准。若响应以 Y表示，则Y=f(H,Uc,Uw），其中H为波高，Uc为流速，Uw为风速。H、Uc、Uw的取样将影响 Y值大小，因此通常根据资料取以波高为主、以流为主、以风为主的相应的风浪序列进行模拟。应用“重点抽样法”的随机模拟程序，可得到的是分别以流为主、以浪为主、以风为主的风浪流组合。用平台响应判断标准，取最大响应对应的组合为最终解，由此可得到相当于百年一遇的海洋环境联合设计标准。计算结果见表17-9。

表17-9　联合概率方法下的风、浪、流值

导管架平台风、浪流单因素分布形式、百年一遇值及响应值见表17-10。

表17-10　导管架平台风、浪流单因素分布形式、百年一遇值及响应值

（四）最大流速及相应同时出现的波高、风速联合概率计算

对于自由浮动的半潜式平台，平台因波浪引起的稳定运动而承受的荷载最大，因此采用波高最大时及相应风速、流速的组合作为联合概率选择准则是合适的。

对于约束较强的半潜式平台，如计算结果所示，平台受到的环境荷载在这种情况下最大，见表17-11。

表17-11　浮式平台海洋环境联合设计标准

（五）最大波高和最大流速相应同时出现的联合概率

海洋立管（Riser）是海洋工程结构系统中的重要部件，也是薄弱易损的构件。计算结果表明必须采用以波浪或海流为控制条件的风、浪、流联合概率作为设计标准。见图17-2和图17-3以及表17-12各种方法的比较。

图17-2　以流速为主百年一遇曲线

图17-3　以波高为主百年一遇曲线

表17-12　各种方法的比较

（六）最大风速及相应的波高、流速联合概率

由于自升式平台重要组成部分迎风面积较大，因此，最大风速及相应同时出现的波高、流速可以导致最大的响应，现以实例计算见表17-13。

表17-13　联合概率百年一遇风浪流组合、相应倾覆力矩与极值响应法的比较

（七）结论

a．按照预计计划完成了“非高斯过程，具有不同相关性的多维随机变量联合概率”随机模拟的软件开发（JOPAP软件开发）。随机模拟技术具有收敛快（比M-C法快5～10倍）、误差小（最大相对误差不超过10%）的优点。

b．随机模拟软件可使用于各类灾害性动力环境经常采用的概率分布模式（如极值I、Ⅱ、Ⅲ型分布，WEIBULL分布，对数正态分布，复合极值分布等），可满足各类工程防灾的概率分析。

c．本研究针对不同工程结构，从最不利的灾害环境组合产生的响应出发，进行不同类别同时出现的灾害环境资料抽样，从而达到了将联合概率随机模拟的非单一解转化为固定解的目的。

d．针对美国API规范以及中国和其他规范，对同时出现灾害动力环境评估方法中存在的问题，本项目具体解决了：①对固定式平台，建议采用以波高为控制条件的风、浪、流联合概率作为设计标准；②对自升平台，建议采用以风速为控制条件的风、浪、流联合概率作为设计标准；③对平台立管在海流较大的海区，必须采用以波浪或海流为控制条件的风、浪、流联合概率作为设计标准。

e．本项目成果解决了美国API最新版本（中国海洋石油行业规范）中“含糊不清”的一些提法，在国际上首先以联合概率的方法，解决了不同工程结构设计标准的合理确定方法。

生存分析(Survival analysis)是指根据试验或调查得到的数据对生物或人的生存时间进行分析和推断，研究生存时间和结局与众多影响因素间关系及其程度大小的方法，也称生存率分析或存活率分析。

生存分析涉及有关疾病的愈合、死亡,或者器官的生长发育等时效性指标。

某些研究虽然与生存无关，但由于研究中随访资料常因失访等原因造成某些数据观察不完全,要用专门方法进行统计处理,这类方法起源于对寿命资料的统计分析,故也称为生存分析。

关于生存函数（survival function）： S(t)=Pr(T > t) t 表示某个时间，T表示生存的时间（寿命），Pr表示表示概率。生存函数就是寿命T大于t的概率。举例来说，人群中寿命超过50（t）岁的人在所有人中的概率是多少，就是生存函数要描述的。假定t=0时，也就是寿命超过0的概率为1；t趋近于无穷大，生存概率为0，没有人有永恒的生命。如果不符合这些前提假定，则不适应Survival analysis，而使用其他的方法。 由上可以推导：生存函数是一个单调非增函数。t越大，S(t) 值 越小。

衍生函数： Lifetime distribution function F(t) = 1-S(t) = Pr(T <= t)

概率密度函数： f(t) = d(F(t))/dt 又叫event density，单位时间事件event（可以是死亡或者机器失效）的概率，是生存函数的导数。

f(t) 的性质： f(t) 总是非负的（没有人可以再生）。函数曲线下方面积（从0到无穷大积分）为1。 s(t) = d(S(t))/dt = -f(t)

危险函数Hazard function λ (t) = f(t)/S(t) 危险函数引入分母S(t)。其物理意义是，如果t= 50岁， λ (t)就是事件概率（死亡）除以50岁时的生存函数。因为年龄t越大，分母生存函数S(t) 越小，假定死亡概率密度f(t)对任何年龄一样（这个不是survival analysis 的假设），那么危险函数λ (t)值越大，预期存活时间短。综合很多因素，卖人身保险的对年龄大的收费越来越高。婴儿的死亡概率密度相对高一些，虽然分母生存函数S(t) 大，λ (t)值还是略微偏高，交的人身保险费也略偏高。

顺序统计量在近代统计推断中起着重要的作用,这是由于有一些性质不依赖于母体的分布,而且计算量很小,使用起来较方便,因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用。求离散型随机变量的顺序统计量的分布比较容易,本文就连续型随机变量略加探讨,为方便起见,假设随机变量X是连续型随机变量。

一、基本概念

定义:设X1,…,Xn是来自某总体的一个样本,该样本的第i个顺序统计量,记为X(i),它是如下的样本函数,每当该样本得到一组观测值x1,…xn,时,将它们从小到大排列为x(1)≤x(2)≤…≤x(n)其中第i个值x(i)就是X(i)的观测值。称(X1,…,Xn)为该样本的顺序统计量,X1称为该样本的最小顺序统计量,Xn称为该样本的最大顺序统计量。

二、主要命题

在总体有密度函数p(x)场合,各种顺序统计量的密度函数都容易用“概率元”方法导出。大家知道,连续型随机变量落在很小区间(x,x+dx)内的概率为P(x�X≤x+dx)=p(x)d+o(dx)

其中o(dx)是比dx高阶的无穷小量,所以p(x)dx是左端概率的主要部分,称为是X的概率元。反之,若存在函数p(x)使上式成立,则p(x)就是X的密度函数。此种寻求密度函数方法称为“概率元方法”。这个方法在多维联合密度场合也适用,下面概率元方法来寻求各种顺序统计量的密度函数。

设X1,…,Xn是来自某总体的一个样本,该总体的分布函数为F(x),密度函数为p(x),该样本的顺序统计量为X(1)≤…X(n),它们的观测值依次记为y1≤…≤y(n),X(k)的密度函数g(yk),其中1≤k≤n,X(k)的观测值为yk,以yk为基础把实数轴分为三个区间:(-∞,yk),[yk,yk+dyk),[yk+dyk,∞)。

特别,X1与Xn的密度函数分布为

g(y1)=n[1-F(y1)]n-1p(y1)(2)

g(yn)=n[F(yn)]n-1p(yn)(3)

三、应用

例设电子元件的寿命X服从参数为θ=00015的指数分布。测试了6个元件,分别记录它们失效的时间(单位:h)。试求(1)至800h时,没有一个元件失效的概率;(2)至3000h时,所有元件都失效的概率。

解:X的概率密度函数和分布函数分别为

f(x)=00015e-00015x,x>00,x≤0

F(x)=1-e-00015x,x>00,x≤0

(1)由式(2),极小顺序统计量X(1)的概率密度函数和分布函数分别为

f1(x)=0009e-0009x,x>00,x≤0

F1(x)=1-e-0009x,x>00,x≤0

至800h没有一个元件失效的概率为

p(X(1)>800)=1-F1(800)=1-(1-e-0009(800))=e-72

(2)由式(3),极大顺序统计量X(6)的概率密度函数和分布函数分别为

f6(x)=0009e-00015x(1-e-00015x)5,x>00,x≤0

F6(x)=(1-e-00015x)6,x>00,x≤0

至3000h时,所有元件都失效的概率为

P(X(6)<3000)=F6(3000)=(1-e-45)6 望采纳~

。\int_{-\infty}^{\infty} f_ (x)\,dx = 1。随机变量x在区间上的概率可以由其概率密度函数的定积分表示： p[a< x\le b]=\int_^ f_x (x)\,dx。而f(x)=p[x是x的累积分布函数，显然概率密度函数是它的导函数。[编辑]应用由机率密度函数可以求出期望值、变异数等矩量。期望值（一阶矩）：e[x]=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\,dx 。变异数（二阶矩）：var[x]=\int_{-\infty}^{\infty} (x-e[x])^2f(x)\,dx 。[编辑]特征函数。对机率密度函数作傅利叶转换可得特徵函数。特徵函数与机率密度函数有一对一的关系。因此知道一个分布的特徵函数就等同於知道一个分布的机率密度函数。

(1)工作不到不到150小时的概率只要对密度函数从负无穷到150积分啦~~在题里就是从100-150求积分~~

（2）工作150小时至少有一只失效，只要求它的对立事件，即 1- 没有一只失效的概率，而对每一只来说，工作150小时不失效的概率就是第一题的对立事件了

具体的就自己算啦~~

P(Y<=y)=P(1/X<=y)=P(X>=1/y)=1-Fx(1/y)

Fy(y)=1- Fx(1/y)

fy(y)=F'y(y)=-dFx(1/y)/dy=-F'x(1/y)(dx/dy)=(-F'x(1/y))( -(1/y)')=fx(1/y)/y^2

两个式子刚好差一个y^2。