欧拉函数 m,n是正整数,m|n,证明φ（m,n)=mφ(n).怎么证明?

方法一：用公式每个数字x可以写成素数的乘积 (p1)^{a1}(p2)^{a2},其中 p1,p2 等是不同的素数,a1,a2等是正整数,那么 phi(x) = (p1)^{a1-1}(p1-1)举个例子,12=2……23,而 phi(12)=2(2-1)(3-1) = 4,确实 1 到 12 这12个数中,只有 4 个 (1,5,7,11) 跟 12 互素m | n,那么 m 的每个素因子都是n的素因子,代入,展开可以知道 phi(mn)=mphi(n)

方法二：用 phi(k)的定义：phi(k) 是 1 到 k 中与 k 互素的数的个数如果 (a,mn)=1 ( (x,y)=1 表示 x 和 y 互素）,那么 (a,n) =1； 反过来,如果 (a,n) =1,因为 m | n,所以 (a,m)= 1,(a,mn)=1所以 (a,n) =1 当且仅当 (a,mn) =1(a) phi(n) 是 1 到 n 中与n 互素的数的个数phi(mn) 是 1 到 mn 中与 mn 互素的数的个数,根据刚才的结论,(b) phi(mn) 是 1 到 mn 中与 n 互素的数的个数比较 (a) 和 (b),phi(mn) = mphi(n)

1、欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有：复变函数中的欧拉幅角公式——将复数、指数函数和三角函数联系起来，拓扑学中的欧拉多面体公式，初等数论中的欧拉函数公式。此外还包括其它一些欧拉公式，如分式公式等。

2、分式：a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)，当r=0,1时式子的值为0，当r=2时值为1，当r=3时值为a+b+c。

3、复变函数：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

4、空间中的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

2-100欧拉函数表

n φ(n)

2 1

3 2

4 2

5 4

6 2

7 6

8 4

9 6

10 4

11 10

12 4

13 12

14 6

15 8

16 8

17 16

18 6

19 18

20 8

21 12

22 10

23 22

24 8

25 20

26 12

27 18

28 12

29 28

30 8

31 30

32 16

33 20

34 16

35 24

36 12

37 36

38 18

39 24

40 16

41 40

42 12

43 42

44 20

45 24

46 22

47 46

48 16

49 42

50 20

51 32

52 24

53 52

54 18

55 40

56 24

57 36

58 28

59 58

60 16

61 60

62 30

63 36

64 32

65 48

66 20

67 66

68 32

69 44

70 24

71 70

72 24

73 72

74 36

75 40

76 36

77 60

78 24

79 78

80 32

81 54

82 40

83 82

84 24

85 64

86 42

87 56

88 40

89 88

90 24

91 72

92 44

93 60

94 46

95 72

96 32

97 96

98 42

99 60

100 40

欧拉函数数列的前10项：1、2、2、4、3、6 、4、6、4 、10

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目。数列（sequence of number），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。

定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示，前n项和用Sn表示。等差数列可以缩写为AP（Arithmetic Progression）

递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。数列递推公式特点：有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。有些数列没有递推公式，即有递推公式不一定有通项公式。