大学微积分:什么函数既是凸函数又是凹函数?

在曲线上任取两点A，B

设其坐标分别为(x1,y1)

,

(x2,y2)

,y=f(x)

取AB的中点C(x

,

y),

若:(y1+y2)/2

＜f[(x1+x2)/2]

则称函数为凸函数(向上凸)

若:(y1+y2)/2

＞f[(x1+x2)/2]

则称函数为凹函数(向下凹

注(x1+x2)/2为C点的横坐标

凸函数的性质：是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数。

注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。

举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。

另外，也有些教材会把凸定义为上凸，凹定义为下凸。碰到的时候应该以教材中的那些定义为准。

定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。

一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。

一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) > f(x) + f '(x) (y − x）。特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x）的最小值。

1、已知函数表达式，但不容易做出图形是可以利用其二阶导数符号来判定函数的凹凸性

y''>0是凹函数

y''<0是凸函数

2、如果可以从函数的表达式入手做出其草图，也可从图形中判断其凹凸性，开口向下为凸，开口向上为凹。

3、利用曲线与曲线上切线位置关系也可判断函数的凹凸性：切线总是位于曲线上方，则曲线为凸；切线总位于曲线下方，则曲线为凹

图象可以判断。 

用盛水法则：（形象得要死） 

可以盛水的“凹”啊，（盛水量为正，二阶导数为正），凹函数。如，开口向上的抛物线函数y＝x^2, y'=2x,y''=2>0凹函数 

反之， 

不可以盛水的“凸”啊，（盛水量差点儿为“负”，二阶导数为负），凸函数。如，开口向下的抛物线函数y＝－x^2, y'=－2x,y''=－2<0凸函数 

就像单调性离不开单调区间一样，函数的凸凹性与凸凹区间是分不开的。 

可能在整个定于域上或者是凸的，或者凸的。如上述例子。 

也可能在定义域上凸凹区间相间，如y＝sinx。如图。

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解析:

我们老师告诉我们定义在大学教材里才有

让我们理解为图象中两点间的线在两点连线上方的是凸函数,在下方的是凹函数

1、对于连续函数f(x)，若f(x)为凹函数，那么区间中的任何两点x1、x2，当x1<x2时，有不等式

f(q1x1+q2x2)≥q1f(x1)+q2f(x2)，其中q1、q2为正数，q1+q2=1恒成立。凹函数图像如下。

2、对于连续函数f(x)，若f(x)为凹函数，那么区间中的任何两点x1、x2，当x1<x2时，有不等式

f(q1x1+q2x2)≤q1f(x1)+q2f(x2)，其中q1、q2为正数，q1+q2=1恒成立。凸函数图像如下。

扩展资料：

1、凸函数性质

一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。

一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。

一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) > f(x) + f '(x) (y − x）。特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x）的最小值。

2、凹函数性质

如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调上升的，也就是二阶导数若存在，则在此区间，二阶导数是大于零的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率。

如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是非正值。如果二阶导数是负值的话它就是严谨凹函数。

-凹函数

-凸函数

一阶导数反映的是函数斜率，而二阶导数反映的是斜率变化的快慢，表现在函数的图像上就是函数的凹凸性。

f′′(x)>0,开口向上，函数为凹函数，f′′(x)<0,开口向下，函数为凸函数。

凸凹性的直观理解：

设函数y=f(x)在区间I上连续,如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的。

确定曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点的步骤：

1、确定函数y=f(x)的定义域；

2、求出在二阶导数f"(x)；

3、求出使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的

点；

4、判断或列表判断,确定出曲线凹凸区间和拐点。