傅里叶变换简介

傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶，他提出任何函数都可以展开为三角级数。

考虑一个在区间 上可积的函数 ，其傅里叶级数为

其中

由欧拉公式 得

代入（1）可得

令

则可以得到傅里叶级数的复数形式

其中

傅里叶变换可以看作傅里叶级数的连续形式。

首先考虑定义在 上的函数的傅里叶级数展开：

其中

令

记

则

当 时， ， ， (14) 中的求和变为积分

相应地，(12) 变为

(16) 称为傅里叶变换，记作 ；(15) 称为傅里叶变换的逆变换，记作 。在信号分析中， 称为信号的时域表示， 称为信号的频域表示。

需要明确的是，不管是用时域还是用频域来表示一个信号，它们代表的都是同一个信号。可以从线性空间的角度理解这一点。同一个信号在不同的表象（或者说基向量）下具有不同的坐标。同一个向量在不同表象下的坐标可以通过一个线性变换联系起来。如果是有限维的空间，这个线性变换可以表示为一个矩阵。而傅里叶变换则是无限维空间不同表象之间的一种变换。举例来说，在量子力学中，一个波函数的坐标表象到动量表象间的变换就是一个傅里叶变换。

也可以将角频率 替换为自然频率 ，有 ，则

一般情况下，我们处理的信号都是离散的。取 在时间上的离散采样

是采样的时间间隔。傅里叶变换只能作用在连续函数上，为此我们引入

其中

为 Dirac 函数。 称为 Dirac 梳子，亦称 Shah 分布，是一个采样函数，常用在数字信号处理和离散时间信号分析中。

对 作傅里叶变换

这里利用了 Dirac 函数的性质 。(22) 即为离散时间傅里叶变换。

下面简单介绍一下采样定理。若原信号 不包含高于 的频率，即 ，则只要采样频率 ，时域采样就能完全重建原信号。

将 在 上展开为傅里叶级数

其中

注意到 时 ，而 ，故 时 ，因此 (24) 可改写为

代入 (23)，得

这里 。(26) 说明原信号的傅里叶变换可以由采样信号确定，进而可以利用傅里叶逆变换重建原信号。

此外，不难发现

是一个周期为 的周期函数。离散傅里叶变换 可以看作原信号连续傅里叶变换 的周期延拓，时域的离散化造成了频域的周期化。

离散时间傅里叶变换在频域上仍然是连续的。如果把频域也离散化，就得到了离散傅里叶变换。

也可以写成矩阵形式

其中 。

离散傅里叶变换的逆变换为

直接根据定义计算离散傅里叶变换的复杂度是 。快速傅里叶变换是快速计算离散傅里叶变换及其逆变换的一类数值算法。FFT 通过把 DFT 矩阵分解为稀疏矩阵之积，能够将复杂度降低到 。

在 Python 中可以利用 scipyfftpack 进行快速傅里叶变换。

傅里叶分析可分为傅里叶级数和傅里叶变换。傅里叶分析可以将任何周期函数看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加，一个矩形波在傅里叶变换后在频域中变为一条条幅值。

例如收音机接收到的信号是多个电台的信号波叠加，如果直接播放我们不能听到任何声音。收音机通过傅里叶变换将信号波分解为特定频率的信号，从而听到某个电台的节目。

傅里叶空间中的每个向量都可以表示为其一组基的无限线性组合，这就是傅里叶展开。这一组基互相正交，称为傅里叶基。

傅里叶级数就是将傅里叶空间中的一个向量通过基的线性组合的方式写出来（一个基的线性组合），每一个基的系数可以通过内积计算得到。

傅里叶级数的指数形式，通过欧拉公式将三角函数转换为指数函数，同时引入虚数i。 exp(ix)=cos(x)+isin(x) ，复平面的向量 (cos(x), isin(x)) 与 exp(ix) 等价（上述公式可用泰勒级数证明）。当 exp(ix) 中的 x 变成时间 t 时，随着时间的流逝，该向量就会在 2π 秒后旋转一圈，即 T=2π 。因此， exp(iwt) 是一个旋转的向量。傅里叶级数就从以三角函数作为基的线性组合就变为指数函数为基的线性组合。

当周期函数的周期趋于无穷时，无穷级数转换为积分，此时实数轴上的每个点都对应一个基，该积分就是这无限个基的“线性组合”。

正空间的晶格做傅里叶变换得到倒易空间（傅里叶空间），在正空间具有周期性的晶格在倒易空间变为倒格子（透射电镜下投影为二维点阵），而在正空间混乱的晶格在倒空间也将是混乱的。正空间表示时域，倒易空间表示频域。由于晶格的周期性，因此关于晶格的所有性质都可以经过傅里叶变换进行计算。

傅里叶变换的意义和理解如下：

意义：

傅里叶变换是数学中最深刻的见解之一，但不幸的是，它的意义深埋在一些枯燥的方程中。

我们都知道傅里叶级数是一种可以把任意周期函数分解成一堆正弦波的方法。和往常一样，这个名字来自一个生活在很久以前的人，他叫傅里叶。在数学术语中，傅里叶变换是一种将信号转换成频率的技术，即从时域到频域的变换方法。傅里叶变换不仅广泛应用于信号(无线电、声学等)处理，而且在图像分析中也有广泛的应用。如边缘检测，图像滤波，图像重建，图像压缩。为了更好地理解它，考虑一个信号x(t):

如果我们对另一个信号做同样的处理：在同一时刻测量它的振幅。考虑另一个信号y(t):

当我们同时触发这两种信号或者把它们加在一起时会发生什么？

当我们在同一时刻发出这两个信号时，我们会得到一个新的信号，它是这两个信号的振幅之和。因为这两个信号被叠加在一起了。对两个信号求和：z(t) = x(t) + y(t)

如果我们只有一个信号(x(t)和y(t)的叠加信号）我们能分离出x(t)和y(t)吗？

是的。这就是傅里叶变换的作用。它接收一个信号并将其分解成组成它的频率。在我们的例子中，傅里叶变换可以将信号z(t)分解成它的组成频率：信号x(t)和y(t)。

理解：

傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

离散信号的傅里叶变换是周期的函数。

周期信号的傅里叶变换是离散的频谱（有限值）。

非周期信号的傅里叶变换是连续频谱。

离散信号的傅里叶变换是周期的函数。

周期信号的傅里叶变换是离散的频谱（有限值）。

非周期信号的傅里叶变换是连续频谱。