现代数字信号处理中随机序列相关函数的估计的公式推导解释

这里我们在学习的时候，老师给出一个关系式求和号不会打，叙述一下吧）：等号左面是两个求和号对g(n-k)求和：{求和号1：上面是N-1-|m|，下面是n=0求和号2：上面是N-1-|m|，下面是k=0然后是g(n-k)}。等号右面是一个求和号对（N-|m|-|r|)g(r)求和，求和号为上面：N-1-|m|,下面是r=-(N-1-|m|)是根据r取不同值时自相关函数的项数不同推得的，电子工业出版社的数字信号处理书上有解释，你想知道的话可以找找，但是考试的话一定要记住上面我给出的公式，课堂上老师只要求记此公式。

望采纳。

自相关函数应用非常广泛，在不同的应用领域中它具有不同的物理意义

例如，在电学、信号处理方面，一个随机过程（信号）的自相关函数与该随机过程（信号）的功率谱或能量谱成傅立叶变换对的关系。

1，工具法：

在excel2007的数据选项卡中单击“数据分析”按钮（初次使用此功能需要在excel选项中添加“分析工具库”加载项），在出现的“数据分析”对话框中选择“随机数发生器”，打开“随机数发生器”对话框，在这个对话框里可以设置所需的随机数参数，其中“变量个数”表示需要同时生成的随机数组数，留空的情况下可以生成一组随机数。“随机数个数”指的是同一组中生成的随机数个数。在“分布”下拉列表中选择“正态”。“平均值”和“标准偏差”是与分布形态相关的两个参数，根据实际的需要进行输入。最后在“输出选项”中选择随机数生成的位置。单击“确定”按钮即可生成一组符合参数要求的正态分布的随机数。

2，公式法：

用到两个函数normdist和norminv

，分别介绍如下：normdist

用途：用于求正态1，工具法：

在excel2007的数据选项卡中单击“数据分析”按钮（初次使用此功能需要在excel选项中添加“分析工具库”加载项），在出现的“数据分析”对话框中选择“随机数发生器”，打开“随机数发生器”对话框，在这个对话框里可以设置所需的随机数参数，其中“变量个数”表示需要同时生成的随机数组数，留空的情况下可以生成一组随机数。“随机数个数”指的是同一组中生成的随机数个数。在“分布”下拉列表中选择“正态”。“平均值”和“标准偏差”是与分布形态相关的两个参数，根据实际的需要进行输入。最后在“输出选项”中选择随机数生成的位置。单击“确定”按钮即可生成一组符合参数要求的正态分布的随机数。

2，公式法：

用到两个函数normdist和norminv

，分别介绍如下：normdist

用途：用于求正态分布的概率密度以及累积概率格式：=normdist(x,

均值,

标准差,

是否累积)其中最后一个参数“是否累积”=false时计算的是概率密度，“是否累积”=true时计算的是累积概率（从-∞算起）例如：normdist(1,0,1,false)=0242

normdist(1,0,1,true)=0841norminv用途：由累积概率反算位置点，可以看作normdist的反函数格式：=norminv(概率,

均值,

标准差)例如：norminv(0841,0,1)=1

当所研究的正态分布为标准正态分布(即均值=0

，标准差=1）时，可以直接用normsdist和normsinv两个函数。

在研究与分析问题中经常会遇到三种随机序列，下面分别进行介绍。

1281 正态（高斯）随机序列

正态随机序列x（n）的N维联合高斯分布的概率密度函数为

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式中

X=［x1，x2，x3，…，xN］T，μ=［μx1，μx2，μx3，…，μxN］T

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式（1-54）表明，正态（高斯）随机序列仅决定于其均值矢量μ以及方差阵∑。具有指数型自相关函数的平稳高斯过程称为高斯-马尔可夫（Gauss-Markov（Марков））过程。这种信号的自相关函数和功率谱密度函数分别为

rxx（m）=σ2e-β｜m｜ （1-55）

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高斯——马尔可夫也是一种常见的随机信号，适合于大多数物理过程，具有较好的精确性，数学描述简单。因为当m→∞时，自相关函数趋近于0，所以均值为0，随机过程的自相关函数特性完全描述了过程的特性。

1282 白噪声序列

如果随机序列x（n），其随机变量是两两不相关的，即

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式中

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则称该序列为白噪声序列；如果白噪声序列是平稳的，则

cov（xn，xm）=σ2δnm （1-58）

式中σ2是常数。设均值μxn=μ=0，其功率谱Pxx（ejω）=σ2，在整个频带上功率谱是一个常数。“白噪声”的名称由牛顿提出，他指出，白光包含了所有频率的光波，而在这里，功率谱Pxx（ejω）在整个频带上是一个常数，说明白噪声的功率谱是包含所有频率成分的序列。

如果白噪声序列服从正态分布，序列中随机变量的两两不相关性就是相互独立性，称之为正态（高斯）白噪声序列。显然，白噪声是随机性最强的随机序列，实际中不存在，是一种理想白噪声，一般只要信号的带宽大于系统的带宽，且在系统的带宽中信号的频谱基本恒定，便可以把信号看作白噪声。注意：正态和白色是两种不同的概念，前者是指信号取值的规律服从正态分布，后者指信号不同时刻取值的关联性。

1283 谐波过程

谐波过程的描述如下：

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式中Ai、ωi均为常数，θi是一独立随机变量，在（-π，π］内服从均匀分布，即

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可以证明，这种谐波信号模型是平稳的，设N=1时，有

x（n）=A cos（ωn+θ）

它的统计平均值和自相关函数

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rxx（n+m，n）=E［x［n+m］x（n）］

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由于谐波过程的统计平均值与时间n无关，自相关函数仅与时间差m有关，谐波过程是平稳的。

当N大于1时，也有同样的结论，可以证明：

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Rss(t1,t2)=E{[x(t1)coswt1-y(t1)sinwt1][x(t2)coswt2-y(t2)sinwt2]}

=coswt1coswt2E[x(t1)]E[x(t2)]-coswt1sinwt2E[x(t1)]E[y(t2)]-coswt2sinwt1E[x(t2)]E[y(t1)]+sinwt1sinwt2E[y(t1)]E[y(t2)]

=coswt1coswt2Rx(t1,t2)-coswt1sinwt2Rxy(t1,t2)-coswt2sinwt1Ryx(t1,t2)+sinwt1sinwt2Ry(t1,t2)

1 R(t1,t2) = R(t1-t2) = R(tao)

2 R(t1,t2) 是正定的。

3 如果此平稳随机过程是实函数，则R(tao)的傅里叶变换是omiga的实偶函数，并且恒为正。

1231 数学期望

随机序列的数学期望，或称为统计平均，即通常所说的均值，定义为

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式中E［·］表示求均值运算。数学期望是n的函数，如果随机序列是平稳的，则数学期望是常数，与n无关。

1232 均方值

随机序列的均方值定义为

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1233 方差

随机序列的方差定义为

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可以证明均方值与方差有如下的关系

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一般均方值和方差都是n的函数，但对于平稳随机序列，它们与n无关，为常数。如果随机变量Xn代表电压或电流，其均方值表示在时刻n消耗在1Ω电阻上的集合平均功率，方差则表示在1Ω电阻上的交变功率的集合平均。有时将σx称为标准方差。

随机变量Xn的均值称为Xn的一阶矩，方差称为二阶中心矩，均方值称为二阶原点矩。

1234 相关函数

在随机序列不同时刻的状态之间，存在着关联性，或者说不同时刻的状态之间互相有影响，包括随机序列本身或者不同随机序列之间。这一特性常用自相关函数和互相关函数进行描述。

自相关函数定义为

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式中“”表示复共轭。

对于两个不同的随机序列之间的关联性，我们用互相关函数来描述，即

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式中pXn，Ym（xn，n；ym，m）表示Xn和Ym的联合概率密度。

1235 协方差函数

常常也用自协方差函数和互协方差函数对随机序列的关联性进行描述，即

自协方差函数

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rxx（n，m）和cov（Xn，Xm）关系为

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对于零均值随机序列，有μxn=μxm=0，故

cov（Xn，Ym）=rxx（n，m）

互协方差函数定义为

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当μxn=μym=0，有

cov（Xn，Ym）=rxy（n，m）

另外，在地球物理信息处理中还经常用到两个更高阶的统计量：偏度和峰度。

1236 偏度

偏度的定义

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有时也称对称性，是一个量纲一的量，用来描述分布函数相对均值的对称性。

1237 峰度

峰度的定义

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峰度是一个量纲一的量，用来表征分布函数在均值处的峰值特性。式中减3是为了保证正态分布的峰值为零。用来描述分布函数相对均值的对称性。