证明狄利克雷函数D(x)不可积。

主要证明：△x→0时，∑D(x)△x的值不定。

因为无论△x怎样小，在该区间上都同时存在x1，x2，使得x1为有理数，x2为无理数，那么D(x)=1 或者D(x)=0 ,如果∑D(x)△x中，所有D(x)都取1，那么△x→0时，∑D(x)△x→∞。

如果∑D(x)△x中，所有D(x)都取0，那么△x→0时，∑D(x)△x→0，即△x→0时，∑D(x)△x的值不定，所以狄利克雷函数D(x)不可积。

狄利克雷函数的公式定义：

实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：

（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）

狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

如果不知道x的密度函数或分布函数，只能当f(x)是线性函数时才能根据D(x),E(x)求出D(y),E(y)

依据是E(ax+b)=aE(x)+b,D(ax+b)=a^2 D(x)

如果知道x的密度函数或分布函数，可以根据y=f(x)先求出y的密度函数，然后再计算D(y),E(y)

EX=4/3，DX=2/9，P{|X-EX|<DX}=8/27。

计算过程：

EX=∫（0，2）x（x/2）dx

=∫（0，2）x^2/2dx

=x^3/6|（0，2）

=4/3

DX=EX^2-EXEX-（4/3）（4/3）

=∫（0，2）x^3/2dx-16/9

=x^4/8|（0，2）-16/9=2/9

P{|X-4/3|<2/9}=∫（10/9，14/9）x/2dx=8/27

扩展资料：

概率密度性质：

非负性：

规范性：

这两条基本性质可以用来判断一个函数是否为某一连续型随机变量的概率密度函数。

期望的性质：

设C为一个常数，X和Y是两个随机变量。以下是数学期望的重要性质：

1、E（C）=C。

2、E（CX）=CE（X）。

3、E（X+Y）=E（X）+E（Y）

4、当X和Y相互独立时，E（XY）=E（X）E（Y）

方差的性质：

1、设C是常数，则D（C）=0

2、设X是随机变量，C是常数，则有D（CX）=C^2D（X），D（X+C）=D（X）。

3、设 X 与 Y 是两个随机变量，则D（X+Y）=DX+DY+Cov（X，Y），D（X-Y）=DX+DY-Cov（X，Y）

其中协方差Cov（X，Y）=E{[X-EX][Y-EY]}。

-概率密度

-数学期望

-方差