对任意一个随机变量X 已知其概率密度函数（PDF）为fX（x） 求Y=g（x），使Y是在

1) 根据全定义域上总积分=1

k ∫(1~3)∫(0~1) (3x²+xy) dxdy=1

∫(1~3){(x³+x²y/2)|(x:1)}dy=1/k

∫(1~3)(1+y/2)dy=1/k

y+y²/4 |(1~3)=1/k

3+9/4-1-1/4=1/k

4=1/k

k=1/4

2) P=k∫(1~2)∫(0~1/2)(3x²+xy)dxdy

=k∫(1~2){(1+y)/8} dy

=k{(1+y)²/16}|(1~2)

=5k/16

=5/64

3)这里需要把y作全定义域积分

P=k∫(1~3)∫(0~1/2)(3x²+xy)dxdy

=k∫(1~3){(1+y)/8} dy

=(16-4)/64

=12/64

=3/16

4)1

1、用法

PDF：对连续性随机变量的定义。与PMF不同的是PDF在特定点上的值并不是该点的概率, 连续随机概率事件只能求一段区域内发生事件的概率, 通过对这段区间进行积分来求。

PMF：对离散随机变量的定义。是离散随机变量 在各个特定取值的概率。

2、写法

PDF：一般写法是一个函数。

例如：

f(x)=e^(-x),

积分得到∫f(x)dx=1

PMF：一般写法是写成对应每一个特定取值的概率。

例如：

P{x=xi}=1/15

扩展资料：

发展过程

起源

概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，是一门研究事情发生的可能性的学问。但是最初概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。

概率与统计的一些概念和简单的方法，早期主要用于赌博和人口统计模型。随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小，从而产生了概率论，并使之逐步发展成一门严谨的学科。概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中。  

发展

随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。

随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了第 二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。

拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。

19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面柯尔莫哥洛夫、维纳、马尔可夫、辛钦、莱维及费勒等人作了杰出的贡献。 

-概率论

直方图是对概率分布函数pdf的直接体现。

Matlab提供了hist（）函数，来方便的产生直方图。只要知道了理论pdf，那么同时画出pdf和直方图就很简单了。

现在以高斯分布为例，来演示如何同时画出pdf和直方图。

归一化高斯概率分布函数如下：

Matlab中直接对应的高斯随机数产生器为randn（）。

具体步骤如下：

用randn（）来产生一组随机序列。

产生直方图

用数学公式来产生高斯概率分布pdf

将2和3的结果做图显示。

参考如下例程：

%========================

x = -4:05:4; %直方图的范围

y = randn(10000,1);%产生一组随机序列，10000个。

t = -4:001:4;

pdf = length(y)05exp(-t^2/2)/sqrt(2pi);%产生高斯概率分布pdf

hist(y,x);%画出直方图

hold on;

plot(t,pdf,'r')%画出高斯概率分布函数

%========================

结果如下：

PDF，是概率密度函数，描述可能性的变化情况，如正态分布密度函数，在中间出现的情况最大，两端出现的情况较小。

CDF,是分布函数，描述发生某事件概率。任何一个CDF，是一个不减函数，最终等于1上面的pdf描述了CDF的变化趋势，即曲线的斜率。

我理解的是，我们最终目的是算概率，而算概率需要CDF，要了解CDF你就得知道PDF的情况，否则就很难入手。个人拙见，供参考。

正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型。各种各样的心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布。

使用概率分布有两种含义：

广义上讲，概率分布是指随机变量的概率性质：当我们说概率空间时，当两个随机变量X和Y具有相同的分布(或相同的分布)时，我们无法用概率来区分。换句话说，确实，x和y是随机变量，具有相同的分布，当且仅适用于任何事件。

狭义上是指随机变量的概率分布函数。设x为样本空间。

是概率测度，那么定义如下的函数就是X的分布函数，或者说是累积分布函数(CDF):它定义了任何实数a。

具有相同分布函数的随机变量必须是同分布的，所以分布函数可以用来描述一个分布，但是概率密度函数(pdf)是一种比较常用的描述方法。

一些分析结论和注意点：

1）PDF是连续变量特有的，PMF是离散随机变量特有的。

2）PDF的取值本身不是概率，它是一种趋势（密度）只有对连续随机变量的取值进行积分后才是概率，也就是说对于连续值确定它在某一点的概率是没有意义的。

3）PMF的取值本身代表该值的概率。

PDF-(积分)->CDF

PDF描述了CDF的变化趋势，即曲线的斜率。

1）累计分布函数（The Cumulative Distribution Function）: 在x点左侧事件发生的总和。

2）累计分布函数的特性：

①因为累计分布函数是计算x点左侧的点的数量，所以累计分布函数CDF是单调递增的。

②CDF比没有直方图变化剧烈，但是CDF包含了相同的信息，并且减少了噪声。。

③由于CDF不存在装箱（分段），因此比直方图能更好的展现数据。

④所有的CDF中，在x趋近-∞时，CDF趋近于0，当x趋近+∞时，CDF趋近与1（100%）

⑤对于给定的数据集，CDF是唯一的

参考：https://blogcsdnnet/wangyj705/article/details/81976455

3）累计分布函数（CDF）与概率密度函数（PDF

参考：https://wwwyoutubecom/watchv=3xAIWiTJCvE