速率分布函数f(v)的物理意义是什么?

在平衡状态下，当分子的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v～v+△v间的分子数dN占总分子数N的比率（或百分比）为dN / N 。

dN / N是v 的函数，在不同速率附近取相等的区间，此比率一般不相等。当速率区间足够小时（宏观小，微观大），dN / N 还应与区间大小成正比：

其中f(v)是气体分子的速率分布函数。分布函数f(v)的物理意义是：速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率。

分布函数f(v)满足归一化条件：

大量分子的系统处于平衡态时，可以得到速率分布函数的具体形式：

式中T是热力学温度，m为分子质量，k为玻尔兹曼常数。上式就是麦克斯韦速率分布律。

麦克斯韦速率分布是大量分子处于平衡态时的统计分布，也是它的最概然分布。大量分子的集合从任意非平衡态趋于平衡态，其分子速率分布则趋于麦克斯韦速率分布，其根源在于分子间的频繁碰撞。

上图是麦克斯韦速率分布函数f(v)示意图，曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率dN/N 。

我们可以看到：同一种理想气体在平衡状态下，温度升高时速率分布曲线变宽、变平坦，但曲线下的总面积不变。随着温度的升高，速率较大的分子在分子总数中的比率增大。同一温度下，分子质量m越小，曲线越宽越平坦，在分子总数中速率较大的分子所占比率越高。

分位数：设连续随机变量X的分布函数为F(X)，密度函数为p(x)。那么，对任意0<1的p，称F(X)=p的X为此分布的分位数，或者下侧分位数。简单的说，分位数指的就是连续分布函数中的一个点，这个点的一侧对应概率p。

分布函数;布函数（英文Cumulative

Distribution

Function,

简称CDF），是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

分布函数的性质:非降性，有界性，右连续性，分布幽数必然单调不减，右连续，仅有第一类旧断点，间断点可列。分布函数是一个普遍的函数，正是通过它，人们能用数学分析的方法来研究随机变量。

例如：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{X≤x}

称为X的分布函数。对于任意实数x1,x2(x1<x2),有P {х1 < X≤x2}=P {X≤x2}-P {X≤x1}=F(x2)-F(x1)，因此，若已知X的分布函数，就可以知道X落在任 -区间(x1x2]上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。

联合分布律表格的求法为：设（X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数：F(x，y)=P{(X<=x)交（Y<=y)}=>P(X<=x，Y<=y)。称为：二维随机变量（X，Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

联合概率分布的几何意义：如果将二维随机变量（X，Y)看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数F(x，y)在（x，y)处的函数值就是随机点（X，Y)落在以点（x，y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。

在概率论中，对两个随机变量X和Y，其联合分布是同时对于X和Y的概率分布。