非正交基坐标系投影坐标计算

先抛出算法提出背景，如下图所示，现在有三个单位向量（用橙色箭头表示）X，Y，Z，以立方体的中心点为起点，分别垂直于正方体的某个面，某条边以及指向某个顶点，这里给出的面，边以及顶点可以根据后面待考虑的向量（浅蓝色箭头）进行调整，现在任意给定的一个向量（以图中浅蓝色箭头表示）Q，希望能够给定一组系数A，B，C，使得：

而(A, B, C)也可以看成是向量Q在XYZ非正交基空间下的坐标。

这个问题可以进一步归纳为，给定任意三个不共面的单位向量，对于这三个向量所组成的非正交基空间内的任一向量，如何计算这个向量在这个空间中的坐标。

出于简化考虑，我们先来看一下2D空间中的相应问题，如下图所示，给出两个不共线的单位向量X，Y，对于这两个向量组成的2D空间中的任一向量，如何求得其在这两个非正交基上的坐标。

如上图所示，直观上来看，只需要从此向量的尾端向着两个方向引平行线，这两条平行线与另一方向轴的交点几维此方向上的坐标。那么公式上是怎么计算的呢？这里需要借助一点三角函数的知识，如下图所示：

其中P点为Q在X方向上的投影点，I为Q点在X方向上的正交投影点，如图中标注

假设X,Q,Y都是单位向量，那么这里就有：

也就是说向量Q在X向量上的坐标为 ，同理可求得Q在Y向量上的坐标为

当然，上面给出的是其中的一种解法，除此之外，还可以通过如下算法进行求取：

不论采用哪种方法，结论并不会发生变化，这里就不详细介绍了。

2D空间算法给出的结论比较简洁，那么这个算法要如何扩展到3D空间呢？其实我们可以将问题拆分成两个2D空间的投影来看。

如上图所示，首先将Q投影到XY 2D空间，得到 ，注意为了满足前面的计算条件，这里 的长度应该要是1。之后先求取 在XY上的坐标，之后再求取Q在 上的坐标即可。

假设 ，就可以得到 的坐标为

再假设 ，就可以得到 的坐标为

本着一般性原则，由于XYZ三向量并没有特殊性，那么最终的坐标应该是对称的，也就是向2D解一样，但是我们可以看到XY坐标是两个sin除法之积，而Z坐标则仅仅是单个sin除法，因此对前面的算法做一下顺序调整，最终的结论应该是如下形式的，假设

这里的一个问题是，如何求取 跟 ，毕竟这里不是正交投影（即ZQ组成的平面可能与XY平面不是垂直的），不能直接通过对两个向量叉乘来得到投影方向。其实问题可以转换为如何求得 ，由于 同时落在 与 平面上，那么肯定会与这两个平面的法线垂直，而由于这两个平面不平行，那么就可以通过两平面的法线叉乘得到 。

前面给出的是准确解，但是其计算过程消耗有点高，尤其是3D空间，需要做大量的叉乘与点乘，如果是在PS中进行这项计算，就会导致大量的浪费，因此我们这里尝试给出一个近似解。

精确解需要计算三个sin值+两个除法，而每个sin值的计算则包括一个点乘得到cos，之后使用sqrt求得，因此整个过程包含如下一些计算逻辑：

由于XYQ都是单位向量，实际上Q就相当于固定X向量的起点朝着Y向量进行圆周转动，而转动的比例应该就近似于Q在XY上的投影坐标。正常求取这个转动比例需要使用arccos求得 ，或者计算其sin值（这种做法得到的恰恰就是精准解，其消耗也并无变化），但是这两种对于性能都没有什么优化，这里直接考虑使用余弦的倒数作为权重，那么其消耗仅仅包含以下几项：

但是这种做法在精确度上存在较大误差，比如当OQ与OX重合时，由于OY与OX不垂直，此时OQ在OY上还有一定的投影权重，且这个权重与XY之间的夹角有着较大关系，当夹角较小时，这个值就会比较大，使得误差进一步变大。为了降低误差，这里考虑对余弦的倒数做一下处理，比如使用smoothstep对其数值进行限定，使得当OQ与OX重叠时，其权重在OY上为0（通过将 作为smoothstep的max输入，1作为min输入即可做到），经过这种做法得到的结果与精确解之间的差异(diff = abs(diff_x）+abs(diff_y))如下图所示：

可以看到，在一些输入数据处，结果还是存在较大的偏差，不过优点在于两端位置具有较好的平滑性（即可以保证当某个向量权重为1时，其他向量的权重肯定为0），这种做法下的消耗为：

看起来似乎是没有多大的提升。

如果直接使用clamp((x-a)/(b-a), min, max)取代smoothstep(min, max, x)，得到的误差也并没有进一步增大，结果如下图所示：

在这种情况下，消耗就小得多了：

上面给出的算法在2D空间中具有非常简单的形式，但是如果放到3D空间中就无从下口了，因为这个时候，OQ在三个非正交基上面有三个投影，而虽然在每个非正交基上面对应的投影长度最小是等于1，最大则存在三个值（对应两两非正交基的夹角的余弦的倒数），这种情况下就很难使用前面2D的方法来求取当前向量OQ在每个非正交基上的近似权重了。

这个地方可以借助三角形插值的相关知识，如下图所示：

当前向量OQ在三个向量基OX，OY，OZ上的权重，可以参考文章 三角形插值技术 ，比如可以直接以Q到XYZ三个顶点的距离的倒数作为权重，但是这里需要注意，前面2D中说过，如果不做特殊处理，当Q与X重叠时，使用这种方法在YZ上依然会有权重，这与事实不符，且容易导致结果跳变，因此这里需要对权重做一次smoothstep之类的过渡，保证当某个向量的权重为1时，其他向量的权重肯定为0。比如Q在X上的权重为1，那么就要使得其在Y/Z上的权重为0。

而由于这里有两个需要兼顾的向量Y&Z，因此需要分别各进行一次smoothstep，最终的结果应该是两个smoothstep结果的一个乘积才对。因为时间关系，这里只给出理论介绍，就不做实际测试了，后面如果有需要，再将相关数据补充进来。

直接替换使用

float

float2

float3

float4

float

float2

float3

float4

float

float2

float3

float4

直接替换使用

float

float2

float3

float4

float

float2

float3

float4

float4x4

可直接替换

float

float2

float3

float4

float3

使用 dFdx 替代

使用 dFdy 替代

float

float4x4

float2

float3

float2

float3

float

可以直接替换

可以直接替换

fmod(x, y)

返回a / b的浮点余数

float

frac(x)

返回输入值的小数部分

可以直接替换

frexp(x, exp)

返回输入值的尾数和指数

fwidth(x)

返回 abs ( ddx (x) + abs ( ddy(x))

float2

isfinite(x)

如果输入值为有限值则返回true，否则返回false

isinf(x)

如何输入值为无限的则返回true

isnan(x)

如果输入值为NAN或QNAN则返回true

ldexp(x, exp)

frexp的逆运算，返回 x 2 ^ exp

length(v)

返回输入向量的长度

float2

float3

lerp(x, y, s)

对输入值进行插值计算

float3

lit(n • l, n • h, m)

返回光照向量（环境光，漫反射光，镜面高光，1）

log(x)

返回以e为底的对数

float

log10(x)

返回以10为底的对数

float

log2(x)

返回以2为底的对数

可直接替换

max(x, y)

返回两个输入值中较大的一个

可直接替换

min(x, y)

返回两个输入值中较小的一个

可直接替换

modf(x, out ip)

把输入值分解为整数和小数部分

float

mul(x, y)

返回输入矩阵相乘的积

float

float2

float3

float4

noise(x)

Generates a random value using the Perlin-noise algorithm

normalize(x)

返回规范化的向量，定义为 x / length(x)

float3

pow(x, y)

返回输入值的指定次幂

float

radians(x)

角度到弧度的转换

float

reflect(i, n)

返回入射光线i对表面法线n的反射光线

float3

refract(i, n, R)

返回在入射光线i，表面法线n，折射率为eta下的折射光线v

float3

round(x)

返回最接近于输入值的整数

float

rsqrt(x)

返回输入值平方根的倒数

float

saturate(x)

把输入值限制到[0, 1]之间

float

sign(x)

计算输入值的符号

float

sin(x)

计算输入值的正弦值

可直接替换

sincos(x, out s, out c)

返回输入值的正弦和余弦值

sinh(x)

返回x的双曲正弦

float

smoothstep(min, max, x)

返回一个在输入值之间平稳变化的插值

float

float2

float3

float4

sqrt(x)

返回输入值的平方根

可直接替换

step(a, x)

返回（x >= a） 1 : 0

float

tan(x)

返回输入值的正切值

float

tanh(x)

返回输入值的双曲线切线

float

tex2D(s, t)

2D纹理查询

tex3D(s, t)

3D纹理查询

transpose(m)

返回输入矩阵的转置

trunc(x)

Truncates floating-point value(s) to integer value(s)

可直接替换