考研数学概率论数理统计，关于T分布的问题

t(1-α)(n)是图中-t(α)(n)和t(α)(n)之间的空白区域和右边阴影区域的和。

α是上分位数的意思，指的是t(α)(n)右边的区域面积是α。

所以t(1-α)(n)是坐标轴上代表右侧区域面积为1-α的点。也就是1减去阴影面积那一小块的面积。简单推导即可知，t(1-α)(n)就是-t(α)(n)

首先，你要知道T分布定义。定义是t(n)=X/[(Y/N)^(1/2)]，其中X~N(0,1)，而Y~X^2(n)，所以显然你列的式子的分母是X^2(3)，所以n=3。然后X1+X2服从N(0,2)，要使它成为N(0,1)，则C必须是1/2的平方根，但是由于分母上还除以了一根号3，所以C应该为(根号6)/2。

所以答案是n=3，C=1/2(根号6)。

χ分布

定义：设 X,X,X相互独立, 都服从标准正态分布N(0,1), 则称随机变量χ=X+X++X所服从的分布为自由度为 n 的χ2分布

结论：期望E（χ）=n，方差D(χ)=2n。

χ分布具有可加性。若χ~χ(n),χ~χ(m)，且二者相互独立，则χ+χ~χ(n+m)。

t分布

定义：t分布设X1服从标准正态分布N(0,1)，X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量t=X1/（X2/n）所服从的分布为自由度为n的t分布。

结论：期望 E（T）=0，方差 D(T)=n/(n-2),n>2

F分布

定义：F分布设X1服从自由度为m的χ2分布,X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量F=(X1/m)/(X2/n)所服从的分布为F分布，其中第一自由度为m,第二自由度为n

结论：1期望E(F)=n/(n-2)，方差D(F)=2n^2(m+n-2)/m(n-2)^2(n-4)

2若F~F(m,n)，则1/F~F(n,m)

3若F~F(1,n)，T~T(n)，则F=T^2

定义：假设X服从标准正态分布N(0,1)，Y服从χ2(n)分布，那么Z=X/sqrt(Y/n)的分布称为自由度为n的t分布,记为 Z~t(n)。

作用：当母群体的标准差是未知的但却需要估计时，可以运用t-分布

正态分布

normal distribution

一种概率分布正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布,第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值,第二个参数σ2是此随机变量的方差,所以正态分布记作N(μ,σ2 )遵从正态分布的随机变量的概率规律为取 μ邻近的值的概率大 ,而取离μ越远的值的概率越小；σ越小,分布越集中在μ附近,σ越大,分布越分散正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称,在μ处达到最大值,在正（负）无穷远处取值为0,在μ±σ处有拐点它的形状是中间高两边低 ,图像是一条位于x轴上方的钟形曲线当μ＝0,σ2 ＝1时,称为标准正态分布,记为N（0,1）μ维随机向量具有类似的概率规律时,称此随机向量遵从多维正态分布多元正态分布有很好的性质,例如,多元正态分布的边缘分布仍为正态分布,它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布,特别它的线性组合为一元正态分布

正态分布最早由A棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到CF高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它PS拉普拉斯和高斯研究了它的性质

生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述例如,在生产条件不变的情况下,产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；d着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量,等等一般来说,如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果,那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）从理论上看,正态分布具有很多良好的性质 ,许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的,例如对数正态分布、t分布、F分布等

正态分布应用最广泛的连续概率分布,其特征是“钟”形曲线

1正态分布

若 的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）

(3-1)

则称 服从正态分布,记号 其中 、 是两个不确定常数,是正态分布的参数,不同的 、不同的 对应不同的正态分布

正态曲线呈钟型,两头低,中间高,左右对称,曲线与横轴间的面积总等于1

2．正态分布的特征

服从正态分布的变量的频数分布由 、 完全决定

(1) 是正态分布的位置参数,描述正态分布的集中趋势位置正态分布以 为对称轴,左右完全对称正态分布的均数、中位数、众数相同,均等于

(2) 描述正态分布资料数据分布的离散程度,越大,数据分布越分散,越小,数据分布越集中也称为是正态分布的形状参数,越大,曲线越扁平,反之,越小,曲线越瘦高

(二)标准正态分布

1．标准正态分布是一种特殊的正态分布,标准正态分布的 ,,通常用 （或Z）表示服从标准正态分布的变量,记为 N（0,）

2．标准化变换：,此变换有特性：若 服从正态分布 ,则 就服从标准正态分布,故该变换被称为标准化变换

3标准正态分布表

标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到 范围内的面积比例

（三）正态曲线下面积分布

1．实际工作中,正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比,或变量值落在该区间的概率（概率分布）不同 范围内正态曲线下的面积可用公式3-2计算

（3-2）

2几个重要的面积比例

轴与正态曲线之间的面积恒等于1正态曲线下,横轴区间 内的面积为6827%,横轴区间 内的面积为9000%,横轴区间 内的面积为9500%,横轴区间 内的面积为9900%

（四）正态分布的应用

某些医学现象,如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量,以及实验中的随机误差,呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布,但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布,可按正态分布规律处理其中经对数转换后服从正态分布的指标,被称为服从对数正态分布

1估计频数分布 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式（3-2）估计任意取值 范围内频数比例

2制定参考值范围

（1）正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标

（2）百分位数法 常用于偏态分布的指标表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握

表3-1 常用参考值范围的制定

概率

（%） 正态分布法 百分位数法

双侧 单 侧 双侧 单侧

下 限 上 限 下 限 上 限

90

95

99

3质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差,常以 作为上、下警戒值,以 作为上、下控制值这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布

4正态分布是许多统计方法的理论基础检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布,但相应的统计量在大样本时近似正态分布,因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的

t分布和卡方分布的分布类型不同。t分布具有对称性，tα=-t1-α，因此t分布表只需要记录单边数据：α=0005到002的数据即可，而卡方分布表则记录了完整的α，包括双边数据：α＝001到01，095到099