函数的性质

函数的性质包括定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。函数在一部分区域内的图像是重复出现的，假设一个函数F(X)是周期函数，那么存在一个实数T，当定义域内的X都加上或者减去T的整数倍时，X所对应的Y不变，则可以说T是该函数的周期。 扩展资料 函数的性质包括定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。函数在一部分区域内的图像是重复出现的，假设一个函数F(X)是周期函数，那么存在一个实数T，当定义域内的X都加上或者减去T的整数倍时，X所对应的Y不变，则可以说T是该函数的周期。

增减函数是指一个实函数在其定义域上的函数值随着自变量的增大而单调递增或者单调递减的函数。具体而言，如果对于任意$x_1,x_2\in D(f)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)<f(x_2)$，则称函数$f(x)$为增函数；如果对于任意$x_1, x_2\in D(f)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)>f(x_2)$，则称函数$f(x)$为减函数。其中，$D(f)$表示函数$f(x)$的定义域。

例如，函数$f(x)=x^2$在$x>0$的定义域内是一个增函数，因为当$x_1<x_2$时，$f(x_1)=x_1^2<f(x_2)=x_2^2$，即函数值随着自变量的增加而增大。而函数$f(x)=e^{-x}$在$x>0$的定义域内是一个减函数，因为当$x_1<x_2$时，$f(x_1)=e^{-x_1}>f(x_2)=e^{-x_2}$，即函数值随着自变量的增加而减小。

需要注意的是，增减函数在数学分析、微积分和统计学等领域中都具有重要的应用和意义。例如，在求极值、定积分、概率密度函数等问题中，增减函数都是常用的数学工具和方法。因此，对于增减函数的定义和性质的理解和掌握，对于深入研究这些领域的相关问题是非常重要的。

函数的基本性质是：

1、有界性：

设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。

2、单调性：

设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。

如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

3、奇偶性：

设为一个实变量实值函数，若有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数。几何上，一个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。奇函数的例子有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。

设f（x）为一实变量实值函数，若有f（x）=f（-x），则f（x）为偶函数。几何上，一个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。偶函数的例子有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。偶函数不可能是个双射映射。

4、连续性：

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

令x = 0 ，得到点C坐标：C(0 ，6)

又y = (1/4)x^2 - (5/2)x + 6 = (1/4)(x - 4)(x - 6) ，且A在B左侧 ，

∴A(4 ，0) ，B(6 ，0)

∵P在AC之间 ，∴P(x ，y)在第一象限中 ，∴0 < x < 4 ，0 < y < 6 ，

∴S = (1/2)·4·y = (1/2)x^2 - 5x + 12 ，0 < x < 4

存在使得PO = PA的点P ，此时P即为OA的中垂线与抛物线的交点 ，易得OA中垂线为：x = 2 ，联立抛物线方程得：y = (1/4)·4 - (5/2)·2 + 6 = 2 ，

即：使得PO = PA的P点坐标为：P（2 ，2）

1。设y=ax^2+bx+c，根据题图像经过点D(0,7/9根号3)，所以c=7/9根号3

所以方程成为y=ax^2+bx+7/9根号3

又且顶点C的横坐标为4，所以对称轴为-b/2a=4

该图像在x轴上截得的线段AB的长为6，设抛物线与x的两个交点为A（x1,0）B（x2,0）

所以有|x2-x1|=6 ，所以有（x2+x1）^2-4 x2×x1=36

x2，x1是ax^2+bx+7/9根号3=0的两个根。代入上式，解出a,b

所以y=根号3/9x^2-8根号3/9x+7/9根号3

2因为P是对称轴上一点，所以PA=PB，可以把PA转化成PB，那么问题就转化成使PB＋PD最小，就是连接B和D点，直线BD与对称轴的交点就是P，P（4，根号3/3）

3。存在这样的Q，有两个点，因为根据前面的数据可以算出三角形ABC是顶角为120的等腰三角形，所以要找到以AB为腰，顶角为120的等腰三角形就可以了，有两个点满足（10,3根号3）,(-2，3根号3)

具体回答如下：

证明：

若函数f(x)在X上有界，则存在M>0,对任意x∈X，|f(x)|<M，－M<x<M。

若函数f(x)在X上既有上界又有下界。

即对任意x∈X，存在m<n,使m<|f(x)|<n。

取正数M＝max{|m|,|n|}

有－M≤m<|f(x)|<n≤M

即－M <|f(x)|< M

|f(x)|<M

函数的性质：

设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。

设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。