同底指数相加减方法

例如，6的3次方，与6的2次方。

这两个数相乘的时候，因为底数都是六，我们有幂指数运算法则

:

同底数的幂相乘除，底数不变，指数相加减。

但是，以这两个数为例子说一下

:

对两个数相加，仅仅可以提出公因数6的2次幂。你可以看看教科书，就行啦。

是的。但是是同底数函数相乘指数相加。

例如：

1、指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

2、指数函数的值域为(0， +∞)。

3、函数图形都是上凹的。

4、 a>1时，则指数函数单调递增；若0<a<1，则为单调递减。

扩展资料：

函数图像：

1、由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。

2、由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。

3、指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

-指数函数

1对数的概念

如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数

由定义知：

①负数和零没有对数;

②a>0且a≠1,N>0;

③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b

特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN

2对数式与指数式的互化

式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)

3对数的运算性质

如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么

(1)loga(MN)=logaM+logaN

(2)logaMN=logaM-logaN

(3)logaMn=nlogaM (n∈R)

问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0

②logaan= (n∈R)

③对数式与指数式的比较(学生填表)

式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数

b—

N—a—对数的底数

b—

N—运

算

性

质am·an=am+n

am÷an=

(am)n=

(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN

logaMN=

logaMn=(n∈R)

(a>0,a≠1,M>0,N>0)

难点疑点突破

对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1

理由如下：

①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28

②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数

③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数

为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数

解题方法技巧

1

(1)将下列指数式写成对数式：

①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=573

（2）将下列对数式写成指数式：

①log1216=-4；②log2128=7；

③log327=x；④lg001=-2；

⑤ln10=2303；⑥lgπ=k

解析由对数定义：ab=NlogaN=b

解答(1)①log5625=4②log2164=-6

③log327=x④log13573=m

解题方法

指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=NlogaN=b(2)①12-4=16②27=128③3x=27

④10-2=001⑤e2303=10⑥10k=π

2

根据下列条件分别求x的值：

(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；

(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1

解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=

(2)log5x=20=1 x=

(3)31+log32=3×3log32=27=x

(4)2+3=x-1=1x x=

解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14

(2)log5x=20=1，x=51=5

(3)logx27=3×3log32=3×2=6，

∴x6=27=33=(3)6,故x=3

(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3

解题技巧

①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化

②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n3

已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值

解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；

思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值

解答解法一∵logax=4,logay=5,

∴x=a4,y=a5,

∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1

解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得

logaA=loga(x512y-13)

=512logax-13logay=512×4-13×5=0,

∴A=1

解题技巧

有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算4

设x,y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围

解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢能否对已知的等式两边也取对数

解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,

两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0

即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1)

令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1)

∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t

解题规律

对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解

∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,

故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞)

5

求值：

(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；

(2)2log32-log3329+log38-52log53；

(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;

(4)求7lg20·12lg07的值

解析(1)25=52,50=5×10都化成lg2与lg5的关系式

(2)转化为log32的关系式

(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢

(4)7lg20·12lg07是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，

设x=7lg20·12lg07能否先求出lgx，再求x

解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2

=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2

=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2

(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59

=2log32-5log32+2+3log32-9

=-7

(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),

∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0

∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0

若ab=1，则a-2b<0, ∴ab=1（ 舍去）

∴ab=4,

∴log2a-log2b=log2ab=log24=2

(4)设x=7lg20·12lg07,则

lgx=lg20×lg7+lg07×lg12 =(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)

=lg7+lg2=14,

∴x=14, 故原式=14

解题规律

①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3)

②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4)6

证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；

(2)logab·logbc=logac；

(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；

(4)loganbm=mnlogab

解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证

(2)中logbc能否也换成以a为底的对数

(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数

(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数

解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,

∴b=logcNlogca∴logaN=logcNlogca

(2)由(1)logbc=logaclogab

所以 logab·logbc=logab·logaclogab=logac

(3)由(1)logab=logbblogba=1logba

解题规律

(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa=mnlogab

7

已知log67=a,3b=4,求log127

解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢

解答已知log67=a,log34=b,

∴log127=log67log612=a1+log62

又log62=log32log36=log321+log32,

由log34=b,得2log32=b

∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b

∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b

解题技巧

利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧8

已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z

(1)求满足2x=py的p值；

(2)求与p最接近的整数值；

(3)求证：12y=1z-1x

解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z又想，对于指数式能否用对数的方法去解答

解答（1）解法一3x=4ylog33x=log34yx=ylog342x=2ylog34=ylog316,

∴p=log316

解法二设3x=4y=m,取对数得：

x·lg3=lgm，ylg4=lgm,

∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4

由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,

∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316

(2)∵2=log39<log316<log327=3,

∴2<p<3

又3-p=log327-log316=log32716,

p-2=log316-log39=log3169,

而2716<169,

∴log32716<log3169,∴p-2>3-p

∴与p最接近的整数是3

解题思想

①提倡一题多解不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢

②(2)中涉及比较两个对数的大小这是同底的两个对数比大小因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，z∈R+，

∴k>1，则 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,

所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm，

故12y=1z-1x

解法二3x=4y=6z=m，

则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，

③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y

∴1z-1x=12y

9

已知正数a,b满足a2+b2=7ab求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1)

解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab

解答logma+b3=logm(a+b3)212=

解题技巧

①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一

②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二12logma+b32=12logma2+b2+2ab9

∵a2+b2=7ab,

∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),

即logma+b3=12(logma+logmb)

思维拓展发散

1

数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系设真数N=a×10n其中N>0,1≤a<10,n∈Z这就是用科学记数法表示真数N其科学性体现在哪里我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘

解析由已知，对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga真数与对数有何联系

解答lgN=lg(a×10n)=n+lgan∈Z,1≤a<10，

∴lga∈〔0,1)

我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0

小结：①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0≤lga<1;

②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；

③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同

师生互动

什么叫做科学记数法？

N>0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？

有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？

2

若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小0380 4，且lg0203 4=1308 3,求lgx,x,lg1x的值

解析①lg0203 4=1308 3,即lg0203 4=1+0308 3，1是对数的首数，0308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出

解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0380 4)

又lg1x=-lgx=-(n+lga),

∴(n-9)+(lga+0380 4)=-n-lga，其中n-9是首数，lga+0380 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：

n-9=-(n+1)

lga+0380 4=1-lgan=4,

lga=0308 3

∴lgx=4+0308 3=4308 3,

∵lg0203 4=1308 3,∴x=2034×104

∴lg1x=-(4+0308 3)=5691 7

解题规律

把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法3

计算：

(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);

(2)2lg(lga100)2+lg(lga)

解析(1)中2+3与2-3有何关系2+3+2-3双重根号，如何化简

(2)中分母已无法化简，分子能化简吗

解题方法

认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2

=-1+12log6(4+22+3·2-3)

=-1+12log66

=-12

(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2

4

已知log2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z的大小

解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式

解答设log2x=log3y=log5z=m<0则

x=2m,y=3m,z=5m

x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m

下面只需比较2与33,55的大小：

(2)6=23=8,(33)6=32=9，所以2<33

又(2)10=25=32,(55)10=52=25,

∴2>55

∴55<2<33 又m<0,

图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的图像，如图2-7-1

解题规律

①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化

②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较

①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y<x<5z

潜能挑战测试

1(1)将下列指数式化为对数式:

①73=343;②14-2=16;③e-5=m

(2)将下列对数式化为指数式：

①log128=-3;②lg10000=4;③ln35=p

2计算：

(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52

3(1)已知lg2=0301 0，lg3=0477 1，求lg45;

(2)若lg3127=a，求lg0031 27

4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()

A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()

A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=x，则logMa的值为()

A若log63=0673 1，log6x=-0326 9, 则x为()

A若log5〔log3(log2x)〕=0，则x=

98log87·log76·log65=

10如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0的两根为x1、x2,那么x1·x2的值为

11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6)已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量

12已知x，y，z∈R+且3x=4y=6z，比较3x，4y，6z的大小

13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2

14已知2a·5b=2c·5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)

15设集合M=｛x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕>0｝，若M≠，M｛x|x<0｝，求实数a的取值范围

16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3840=0584 3,则lgN=

17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%(lg2=03, lg3=048)

18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长104%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=

名师助你成长

1(1)①log7343=3②log1416=-2③lnm=-5

(2)①12-3=8②104=10 000③ep=35

2(1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式

(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式

(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方

3(1)0826 6点拨：lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2)

(2)lg0031 27=lg(3127×10-2)=-2+lg3127=-2+a

4C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义

5B点拨：底x+1>0且x+1≠1;真数x+1>0

6A点拨：对ab=M取以M为底的对数

7C点拨：注意0673 1+0326 9=1,log61x=0326 9，

所以log63+log61x=log63x=1∴3x=6, x=12

8x=8点拨：由外向内log3(log2x)=1, log2x=3, x=23

95点拨：log87·log76·log65=log85, 8log85=5

1016点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是lgx1,lgx2

由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3，得x1=12,x2=13

11设第n个营养级能获得100千焦的能量，

依题意:106·10100n-1=100,

化简得:107-n=102,利用同底幂相等，得7-n=2,

或者两边取常用对数也得7-n=2

∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦

12设3x=4y=6z=k,因为x，y，z∈R+，

所以k>1取以k为底的对数，得：

x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6

∴3x=3logk3=113logk3=1logk33,

同理得：4y=1logk44,6z=1logk66

而33=1281,44=1264,66=1236,

∴logk33>logk44>logk66

又k>1,33>44>66>1,

∴logk33>logk44>logk66>0,∴3x<4y<6z

13∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0,

即xlga+ylgb=ylga+xlgb=0(※)

两式相加,得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0

即(lga+lgb)(x+y)=0∴lga+lgb=0 或x+y=0

当lga+lgb=0时,代入xlga+ylgb=0,得:

(x-y)lga=0, a是不为1的正数lga≠0,∴x-y=0

∴x+y=0或x-y=0,∴x2=y2

14∵2a5b=10,∴2a-1=51-b两边取以2为底的对数,得：a-1=(1-b)log25

∴log25=a-11-b(b≠1) 同理得log25=c-11-d(d≠1)

即b≠1,d≠1时,a-11-b=c-11-d

∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b),

∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)

当b=1,c=1时显然成立

15设lg〔ax2-2(a+1)x-1〕=t (t>0),则

ax2-2(a+1)x-1=10t(t>0)

∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0

①当a=0时,解集｛x|x<-1｝｛x|x<0｝;

当a≠0时,M≠且M｛x|x<0｝

∴方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1,x2且x1<x2，则

②当a>0时,M=｛x|x<x1，或x>x2｝,显然不是｛x|x<0｝的子集；

③当a<0时，M=｛x|x1<x<x2｝只要：

a<0，

Δ=4(a+1)2+8a>0，

x1+x2=2(a+1)a<0，

x1·x2=-2a>0

解得3-2<a<0，综上所求，a的取值范围是：3-2<a≤0

16N=3840×1011, lgN=11584 3

17设经过x年，成本降为原来的40%则

(1-10%)x=40%,两边取常用对数，得：

x·lg(1-10%)=lg40% ，

即x=lg04lg09=lg4-1lg9-1=2lg2-12lg3-1=10

所以经过10年成本降低为原来的40%

18f(x)=log1104x〔或f(x)=lgxlg1104〕

点拨：设原来一个季度产品为a，则a(1+104%)y=xa,∴y=log110

另外参看这个公式。对数函数运算公式

http://wenkubaiducom/view/dc8f161b227916888486d75chtml

01

运算法则是同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于每一个因式分别乘方。

指数函数是重要的基本初等函数之一。一般地，指数函数定义域是R。对于一切指数函数来讲，值域为(0， +∞)。指数函数前系数为3，故不是指数函数。运算法则是同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于每一个因式分别乘方。

应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2718281828，还称为欧拉数。当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于0的时候，y等于1。当0作为实数变量x的函数，它的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴，尽管它可以无限程度地靠近x轴(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数x上。

有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如（k属于R） 的函数，从上面关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1。