读书笔记：常微分方程（一）——相空间

此篇读书笔记对应于《 Ordinary Differential Equations 》（Arnold，3rd）第一章（Basic Concepts）第一节——Phase Spaces

常微分方程与生态学有什么关联？从历史的角度看， 种群动态是生态学真正关心的问题 。从Gilbert White于1789年提出人类史上第一个生态学问题，时至今日，生态学理论一直以种群动态为根基。它涌现出所谓生物多样性、空间分布格局、种间互作，也是功能性状、物候等话题在应用生态学中的归宿。时至今日，真正成熟应用的生态学理论，基本上也是Malthus定律及其衍生。

而常微分方程是这些理论的数学基础。

「常微分方程（ordinary differential equation）」 是用于研究一切 「确定性（determinacy）」 、 「有限维（finite-dimensionality）」 、 「可微（differentiability）」 的 「演化过程（evolution process）」 的一套工具。

这里的演化过程，不是狭义上的生物进化，而是泛指一切随着时间推进，系统 「状态（state）」 发生变化的过程，或者说系统发生 「运动（motion）」 的过程。

要描述一个系统的运动，需要引入下列概念：

常微分方程要解决的根本问题是用相速矢量研究系统的运动情况。而相空间、 矢量场（direction field） 的引入将研究演化过程简化为研究几何问题。

记 维相空间为 ，时间轴为 ，相点 ，相速矢量 ，则该系统的 「自主微分方程（autonomous differential equation）」 为：

所谓自主（autonomous），是指等式右边与时间 无关。该微分方程的 「解（solution）」 是由时间轴到相空间的一个映射 。当 满足 时，称 满足初始条件 。将 和 组合起来（即 ，在数学上称为 直积（direct product） ）可以描述系统在某一时刻下在相空间的位置。其中点 所属的空间被称为 「扩充相空间（extended phase space）」 。

从一阶微分的角度理解，该微分方程实际上是将 映射到 、 、、 。

1798年Malthus提出的人口理论被不少生态学家认为是生态学第一定律。其在生态学中的地位可与牛顿力学定律在物理学中的地位相媲美。Malthus指出，一切生物在“不受外力”的影响下，都以恒定的速率 增长。用微分方程可表达为：

其中种群个体数 ，故相空间是一维 正半轴。其相速矢量场如图所示：

该方程可直接用定积分（或不定积分）求解，结果为：

这是一个指数曲线， 只有 时， 。而当 为有限值时， 无法达到无穷大 。这种增长称为 「自然繁殖（normal reproduction）」 。

然而，只要稍改动微分方程，情况就不会如此。例如，对于某个有性繁殖的、性比率为1的种群，其增长率正比于雌性个体和雄性个体的数量，则该种群个体数变化的相速度可表示为：

其积分曲线为：

这是 「双曲线（hyperbola）」 的一支。 当 接近有限值 时，种群个体数就已经达到了无穷大 。

由于资源有限，当种群个体数过大时竞争激烈，故种群增长率会有所下降。所以 不是一个恒值，而是关于 的函数：

函数 应当是在 范围内随 增加而单调递减的函数。但其具体形式我们无从得知。记 时种群增长率 。根据麦克劳林展开式：

即， 当 足够小时，任何光滑函数可用线性函数作近似 。因此，

当 时，其相速矢量场如图所示：

由图可知种群个体数由一个 稳定平衡点（stable equilibrium， ） 和 不稳定平衡点 （ ）。

求解微分方程，可得：

由积分曲线可知 时种群个体数趋近于1。求解 ，得 ，即 。故当 ，该函数二阶导数小于0，为凹函数； 时，函数二阶导数大于0，为凸函数。在 时，种群具有最大增长率。

现进一步假设，单位时间内以固定量采伐种群。假设 ，则种群动态可表示为：

其中 被称为 限额（quota） 。采用相速矢量场的特点分析（如下图），可知，只有当 时，种群才有机会达到稳定点。

假设单位时间内的采伐量不为定额，而与种群个体数呈正比，则：

以类似的方式（如下图）分析可得，只有 时，种群才有机会达到平衡。

Lotka（1910）和Volterra（1926）分别提出了捕食者–猎物系统的种群动态模型，称为Lotka–Volterra模型。该模型假设：捕食者、猎物相遇的几率与双方的种群个体数成正比；捕食者捕食猎物的频次与相遇频次成正比；捕食者种群增长率与捕食猎物的频次成正比；捕食者以恒定的速率死亡。从而：

采用相速矢量场研究该系统的动态，如下图所示。

但从这张图无法得知某个相点运动一周后是否会回到原来的位置。可能有以下几种情况：

其中，Φ(A)代表 「第一返回函数（first return function）」 ，即相点运动一周后的位置关于相点原位置的的函数。在情况A中，相点逐渐运动到平衡点；情况B中，系统逐渐崩溃；情况C和D中，相点的最终运动轨迹为 有限环（limit cycle） 。下方四张图对Φ(A)的呈现形式称为 「Lamerey楼梯（Lamerey staircase）」 。由此可知，针对不同的起始点A，Φ'(A)对种群调控起到了很大的作用。

根据牛顿第一定律，任何物体不受外力作用时，其加速度为0，即 。可采用 和 两个坐标轴将该式拆解：

其相速矢量场如下图所示：

其中，位于 直线上的相点为不稳定平衡点，在物理上又称为中性平衡点（neutral equilibrium）。

而对于自由落体运动 ，则可分解为：

对于d簧振子，质点的加速度与位移成比例，即 ，可分解为：

其相速矢量场如图所示：

当 时，可以发现相速矢量 与径矢量 的长度（后者即相点到原点的距离）相等，且两个矢量相互垂直。因而相点在 上作角速度为1的圆周运动。假设 ，则该微分方程的积分曲线为：

当 时，其实相当于把 轴进行伸缩变换，那么轨迹也就自然从圆变为椭圆。如果 （当然d簧振子不会这样），相速矢量场有点像双曲线但又不完全是，因为在（0,0）点处有定义。当考虑二维简谐运动 时，做法类似，只不过此时的运动轨迹成为两个圆 、 ，其运动的角速度均为1。

对于单摆（如下图），根据转动定律，可知：

其中， 为转动惯量（moment of interia）。

故单摆的运动可视为 ，分解可得：

当 很小时， ，单摆运动简化为简谐振子。

►  常微分方程是一种研究演化过程的工具。

►  常微分方程定义的一套概念体系，将研究演化过程这一问题简化为研究相速矢量场和积分曲线的特征，即一个几何问题。

►   是最简单的常微分方程，但它同时称为了物理学、生态学第一定律的核心。

►  研究常微分方程的方法有：（1）从 相速矢量场 的几何特征入手，从而对系统动态有感性的认识；（2）找出 相速矢量 、径矢量的特殊几何特征，或分析其大小变化，推测相位曲线的形状；（3）求积分，获取 积分曲线 ，并研究其几何特征，最终对系统动态作出预测。

 下一篇： 读书笔记：常微分方程（二）——Lotka–Volterra模型

标题里的问题我无法回答,条件太强了一点,不过存在导函数的不连续点全体不是零测度集的函数,比如Volterra函数你可以把原来想问的弱一点的问题贴一下

一般来讲f(x)处处可导且f'(x)有界无法推出f'(x)的Riemann可积性,也就是说这样的函数不能使用Newton-Leibniz公式

此篇读书笔记对应于《 Theoretical Ecology Principles and Applications 》第三版第七章——Interspecific competition and multispecies coexistence

让我们先来看一段话：

这段话源自1961年由GE Hutchinson在 The American Naturalist 杂志上发表的一篇文章。加粗的字体是我比较关注的，它们说明了这些事实：（1）在Hutchinson之前，已经有很多人做过浮游植物的微宇宙实验；（2）Hutchinson搞不明白，为啥这么个小缸子里能有这么多物种共同生活在一起；（3）Hutchinson再三向读者强调：你们注意一下，这是个 均质的 环境，且所有物种都在 竞争相同的、少数的几个资源 。

什么叫均质？就是这小缸子里每一处环境都是一样的。而且你要是竞争不过别人，你想躲也无处躲，必死无疑。

什么叫“same sorts of materials”？大家都在竞争同样的东西。而且养分还是稀缺的。零和主义者忍不住跳出来要说两句：优胜劣汰，失败者必死无疑。

但现实啪啪打脸，而且打的很响。因为在这种环境下， 稳定共存的物种数目远超资源数量 。这种违背所谓“竞争排除（competition exclusion）”理论的情况被称为 浮游生物悖论（paradox of the plankton） 。这是由Hutchinson首先发现的，因而又称为 Hutchinson的多样性悖论（Hutchinson’s paradox of diversity） 。

60年后的今天，“物种共存”早就是群落生态学中的王牌问题了，听说乃至研究这一问题的人更是不胜枚举，但不知道其中有多少比例的人知道这一问题的由来（总不可能是凭空产生）。Hutchinson当初提出的问题早已被解决了，物种共存理论也有巨大的发展，但 生物多样性这玩意儿仍是个谜团（biodiversity remains a mystery） 。我们知道，有很多过程能催生出共存。但我们不知道，对任意的一个生态系统，到底具体是谁催生了共存。

其实上面这个Box稍稍有点偏题，因为这章主题是“多样性因何形成”，而上面的Box是在说“多样性带来了什么”。但尽管话题不同，但有个共同点：我们对生物多样性这个黑匣子知道的太少了。

话说回来，解开多样性这个谜团，或者说知道物种共存的本质，恰好又是社会的燃眉之急。不少学者指出，我们已经进入了 人类世（Anthropocene） ，并在担心 第六次生物大灭绝 正在发生。因此，社会说：我们必须要保护周围的物种。啥叫保护？就是不让物种灭绝；啥叫不灭绝？就是让它继续跟其他物种共存在一起（人为干预进行单物种的精心呵护总不是个长久之计）。 因此，只有知道共存机理，才能推测物种灭绝的条件，进而有针对性地制定物种保护计划 。

因此，什么叫保护生物多样性？就是医生看你咳了，于是给你配止咳药。但我们总归要上升一个新的高度，要采血样，要判断是病毒性感冒、细菌性感冒还是其他疾病，最终决定吃泰诺、开瑞坦、头孢还是阿奇霉素，而不是简单地在寝室里直接掏出一盒泰诺，得意地说：哈哈，过几天就好了。

对于任何一个种群，种群个体数无限接近于0时，资源量充足，内禀增长率达到最大值 r ；种群个体数达到一定值 K 时，资源量匮乏，内禀增长率最终降为0。因此，内禀增长率应该是关于种群个体数的减函数。怎么减？不知道啊。因此就简单地假设呈 线性递减 （通过前面几章的阅读，其实也很容易发现了，你不会的东西，就往最简单的地方想，就是随机、线性……）：

其中， N 为种群个体数。这就是 逻辑斯蒂（Logistic）方程 。

Lotka–Volterra竞争模型的想法很简单，即每增加一个其他物种的个体参与竞争，相当于增加 个同种物种个体。于是，第 i 个种群动态变为：

自然，该微分方程必须要有平衡解，物种才能共存。那啥时候有平衡解呢？

考虑只有两个物种的情况。共存条件为：

要想共存，这一方程组必须有解。也就是直线 和直线 必须要有位于第一象限的交点（图1），也即 和 。

代表物种1抑制自己增长所需要的数量， 表示物种1抑制物种2增长（同时物种2个体数极为稀少）所需要的物种1数量。因而等式 代表 物种抑制自己比抑制别人更容易 。这就是Lotka–Volterra竞争模型得出的结论。

这样，2个物种竞争1个资源，但稳定共存了。物种数的确超过了资源数，那么Hutchinson的多样性悖论的确有可能发生。

将模型拓展到多个物种，亦是如此。Robert May在1973年的 生态位重叠模型（May's niche overlap model） 中，就设定每个物种具有相同的 r 和 K 值，并让物种由1到 n 排序。标号相近的物种竞争更激烈：

科学家不会满足于Lotka–Volterra竞争 模型，因为它不够机理。但机理性模型常常具有复杂性增加的通病。不过，当Tilman考虑资源竞争模型时，却发现这种顾虑是多余的。

首先考虑最简单的情况——竞争单一资源：

其中， 代表净增长率随资源丰度的变化函数。用的最多的是 米氏方程（Michaelis–Menten equation） ，或称 Monod公式 ，即 。其中 是最大净增长率， 是半饱和点，即增长率达到 时的资源丰度。

代表生境供给资源 的速率， 代表增长单位生物量需要消耗的资源。 。其中 是所有形式的资源丰度（例如氮元素，有可被植物利用的硝酸盐形式，也有不可被利用的有机氮形式）， 是可被利用的资源丰度。两者相减就是不可被利用的形式的丰度。 代表不可利用形式转化为可利用形式的速率。

平衡时， ，得到 。这样，只有资源丰度大于等于 时，种群才能维持，否则就被竞争排除。那么，在多物种体系中， 只有 值最低的物种才不会灭绝 。这就是 Tilman的 理论 。

单一资源竞争模型的结果就是零和主义者的世界：资源有限、优胜劣汰。那为什么Hutchinson的多样性悖论能够产生？我们看几个案例。

这，就是 权衡（trade-off） 的力量。

在自然界中，权衡往往不是仅发生在一到两个维度上。因此两个物种看起来很相同，其实在高维空间中可以很不同，可能它们之间的权衡关系我们根本就不太容易发现。

书上还有一则小插曲：既然物种数可以远超资源数，那为什么不可以无穷大呢？Tilman做了一个模拟，发现随着物种数增加，与新来物种具有相似生态位的竞争者就越可能藏在群落里面，因此入侵难度也随之增加。

Tilman说了那么多，但他其实只说了两个字： 权衡 。权衡就是物种共存的机制，就是多样性产生的机制。正因为人为干扰改变了资源供给速率，资源权衡被破坏，导致某一物种成为全方位的成功者，进而排除其他物种；正因为人为干扰改变了栖息地景观，破坏了拓殖与竞争的权衡，使得竞争上的优势种成为现实中的失败者；正是因为人为干扰改变了食物链结构，破坏了营养级水平权衡关系，从而使得逃避捕食者成为唯一的出路。

保护生物多样性，其实是在保护权衡。

不得不感慨Tilman的的厉害。逻辑上由浅入深，主题上十分聚焦，权衡这一结论的得出十分自然，源于朴素的总结和归纳。同时，他又留下了很多可以继续深入探讨的问题。

由浅入深，仔细总结，然后以温和的姿态送别人一个礼物，不是两个。

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当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 

典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d) 

注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。 我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了。

令x=(ax+b)/(cx+d)  ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0 。令此方程的两个根为x1，x2， 若x1=x2 ，则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p ，其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。 

注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=2c/(a+d) 若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2) 

其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。

扩展资料：

设含有n个未知数与n个方程的非线性方程组为F(x)=0，然后把方程组改为便于迭代的等价形式x=ψ(x)，由此就可以构造出不动点迭代法的迭代公式为xk+1=ψ(xk)，如果得到的序列{xk}满足lim(k→∞)xk=x，则x就是ψ的不动点，这样就可以求出非线性方程组的解。

不动点法(fixed point method)是解方程的一种一般方法，对研究方程解的存在性、唯一性和具体计算有重要的理论与实用价值。数学中的各种方程，诸如代数方程、微分方程和积分方程等等，均可改写成  的形式，其中  是某个适当的空间 中的点，  是从  到 的一个映射，把点  变成点  。

于是，方程的解就相当于映射  在空间  中的不动点。这一方法把解方程转化为求某个映射的不动点，故而得此名。其优点在于可以把几何、拓扑和泛函分析中较深刻的工具应用于方程论。

参考资料：

1 Riemann可积不一定存在原函数

f(x)存在原函数, 即存在可导函数F(x), 使f(x) = F'(x)对定义域内的任意x成立

可以用Lagrange中值定理证明:

若F(x)在一个区间上处处可导, 则导函数F'(x)在该区间内没有第一类间断点

基于如上观察, 可以构造如下例子:

取f(x) = 0, 当0 ≤ x < 1/2, 取f(x) = 1, 当1/2 ≤ x ≤ 1

f(x)在[0,1]上有界, 且只有一个间断点x = 1/2, 因此f(x)在[0,1]是Riemann可积的

但是x = 1/2是f(x)的第一类间断点, 因此f(x)在[0,1]没有原函数

如果取F(x) = ∫{0,x} f(t)dt, 会发现F(x)在x = 1/2处是不可导的, f(x) = F'(x)在该点不成立

2 原函数存在不一定Riemann可积

在闭区间[a,b]上Riemann可积需要两个方面的条件: 有界性和连续性(不连续点是零测集)

从前者入手比较容易:

在x ≠ 0处, 取F(x) = x^(4/3)·sin(1/x), 则F'(x) = -cos(1/x)/x^(2/3)+4x^(1/3)·sin(1/x)/3

在x = 0处, 取F(0) = 0, 则F'(0) = lim{x → 0} F(x)/x = lim{x → 0} x^(1/3)·sin(1/x) = 0

F(x)处处可导 且对任意正整数k, F'(1/(2kπ)) = -(2kπ)^(2/3), 因此F'(x)在0的任意邻域内无界

于是f(x) = F'(x)在[-1,1]上存在原函数, 但不是Riemann可积的(因为不是有界的)

实际上, 存在F(x)在R上处处可导, 导数有界, 但导数不是Riemann可积的(导数的不连续点不零测)

构造比较复杂, 参考链接(只找到英文的): http://enwikipediaorg/wiki/Volterra's_function

本书是在北京邮电大学出版社出版的《数学物理方法（研究生用）》的基础上修订而成的．此次修订除了对一些章节的内容作了调整，以便更适合教学外，主要增加了计算机软件Maple在求解定解问题中的应用，以及用Maple将一些结果可视化的内容． 本书第1版于2003年1月出版后，曾蒙广大师友和读者的关怀与厚爱，于2005年9月进行了第2次印刷．此次修订主要是增加了应用数学软件Maple来辅助求解数学物理定解问题，并将部分结果用Maple进行可视化的内容．因为“数学物理方法”这门课程作为众多理工科学生的基础课之一，在后续课程和完成学业后的科研工作中都有许多应用，需要学生清楚地理解其中的概念，娴熟地掌握解题方法，并且了解结果的物理意义．但是由于课程本身的内容多而难，题目繁而杂，被公认为是一门难学的课程，主要体现在公式推导多，求解习题往往要计算复杂的积分或级数等．随着计算机的深入普及，功能强大的数学软件（如Maple等）为复杂数学问题的求解提供了有力的工具，目的在于：（1）将繁难的数学运算，比如求解常微分方程、计算积分、求解复杂代数方程等借助于计算机完成，可使读者更专注于模型（数学物理方程）的建立、物理思想的形成和数学方法应用于物理过程的理论体系；（2）借助于计算机强大的可视性功能，把一些抽象难懂但又非常有用的知识变成生动的、“活”的物理图像展现在读者面前，这无疑有益于读者对知识的理解和掌握．数学软件Maple的符号运算功能强大，它的最大好处是不用编程，可以直接进行符号运算，因此读者不用另外学习编程的知识，更不要求以会编程为学习基础，这会带来极大的方便，读者只要在计算机上装上Maple软件，直接输入命令即可．

本次修订除了增加上述内容外，还对原版的内容作了以下调整：将第1章“场论初步”改成“矢量分析与场论初步”，增加了矢量分析的内容，删去了矢量场的梯度、张量及其计算，以及并矢分析两节内容；将第5章“特殊函数”分成两章“特殊函数（一）—— Legendre多项式”和“特殊函数（二）——Bessel函数”；在“变分法”一章中，增加了复杂泛函Euler方程的推导，因为在数学物理问题中经常会遇到求解复杂变分的问题；在“积分方程的一般性质和解法”一章中，按照积分核的类型讲解相应的解法，以便使内容更加清晰和系统．全书的文字内容进行了重写或修改，也改正了第1版中几处印刷错误．书中加“”号内容可作为选学内容，读者可根据需要取舍．

编著者十分感谢清华大学出版社对本书再版的大力支持和帮助，尤其感谢刘颖和王海燕两位编辑，其严谨、辛勤的敬业精神令人钦佩． 第1章矢量分析与场论初步

11矢量函数及其导数与积分

111矢量函数

112矢量函数的极限与连续性

113矢量函数的导数和积分

12梯度、散度与旋度在正交曲线坐标系中的表达式

121直角坐标系中的“三度”及Hamilton算子

122正交曲线坐标系中的“三度”

123“三度”的运算公式

13正交曲线坐标系中的Laplace算符、Green第一和第二公式

14算子方程

第2章数学物理定解问题

21基本方程的建立

211均匀弦的微小横振动

212均匀膜的微小横振动

213传输线方程

214电磁场方程

215热传导方程

22定解条件

221初始条件

222边界条件

23定解问题的提法

24二阶线性偏微分方程的分类与化简

241两个自变量方程的分类与化简

242常系数偏微分方程的进一步简化

243线性偏微分方程的叠加原理

第3章分离变量法

31（1+1）维齐次方程的分离变量法

311有界弦的自由振动

312有限长杆上的热传导

322维Laplace方程的定解问题

33高维Fourier级数及其在高维定解问题中的应用

34非齐次方程的解法

341固有函数法

342冲量法

343特解法

35非齐次边界条件的处理

第4章二阶常微分方程的级数解法本征值问题

41二阶常微分方程系数与解的关系

42二阶常微分方程的级数解法

421常点邻域内的级数解法

422正则奇点邻域内的级数解法

43Legendre方程的级数解

44Bessel方程的级数解

45SturmLiouville本征值问题

第5章特殊函数（一）Legendre 多项式

51正交曲线坐标系中的分离变量法

511Laplace方程

512Helmholtz方程

52Legendre 多项式及其性质

521Legendre多项式的导出

522Legendre多项式的性质

53Legendre多项式的应用

54一般球函数

541关联Legendre函数

542球函数

第6章特殊函数（二）Bessel函数

61Bessel函数的性质及其应用

611柱函数

612Bessel函数的性质

613修正Bessel函数

614Bessel函数的应用

62球Bessel函数

63柱面波与球面波

631柱面波

632球面波

64可化为Bessel方程的方程

65其他特殊函数方程简介

651Hermite多项式

652Laguerre多项式

第7章行波法与积分变换法

71一维波动方程的d′Alembert公式

72三维波动方程的Poisson公式

73Fourier积分变换法求定解问题

731预备知识——Fourier变换及性质

732Fourier变换法

74Laplace变换法解定解问题

741Laplace变换及其性质

742Laplace变换法

第8章Green函数法

81引言

82Poisson方程的边值问题

821Green公式

822解的积分形式——Green函数法

823Green函数关于源点和场点是对称的

83Green函数的一般求法

831无界区域的Green函数

832用本征函数展开法求边值问题的Green函数

84用电像法求某些特殊区域的DirichletGreen函数

841Poisson方程的DirichletGreen函数及其物理意义

842用电像法求Green函数

85含时间的定解问题的Green函数

第9章变分法

91泛函和泛函的极值

911泛函

912泛函的极值与泛函的变分

913泛函取极值的必要条件——Euler方程

914复杂泛函的Euler方程

915泛函的条件极值问题

916求泛函极值的直接方法——Ritz方法

92用变分法解数学物理方程

921本征值问题和变分问题的关系

922通过求泛函的极值来求本征值

923边值问题与变分问题的关系

93与波导相关的变分原理及近似计算

931共振频率的变分原理

932波导的传播常数γ的变分原理

933任意截面的柱形波导管截止频率的近似计算

第10章积分方程的一般性质和解法

101积分方程的概念与分类

102积分方程的迭代解法

1021第二类Volterra方程的迭代解法

1022第一类Volterra方程的迭代解法

1023第二类Fredholm方程的迭代解法

1024叠核、预解核

103退化核方程的求解

104弱奇异核的Abel方程的解法

105对称核的Fredholm方程

106微分方程与积分方程的联系

1061二阶线性常微分方程与Volterra方程的联系

1062微分方程的本征值问题与对称核积分方程的联系

参考文献

f(x)在[a,b]上可微，即使再加上f'(x)有界的条件也不能保证f'(x)在[a,b]上Riemann可积，例子是Volterra函数

顺带提一下，如果g(x)在[a,b]上Riemann可积，\int_a^x g(t)dt 未必可微，即便可微也不能保证是g(x)的原函数