一元函数积分的几何应用

旋转体的体积注意两种切割方式，纵向旋转时，举个例子，取[x,dx]这小段，把相当于求无限个小圆环的体积，这里每个小圆环拉开之后相当于一个矩形，长度为2兀x（以绕y轴为例），宽是dx，得到底面积再乘以高f（x）就是圆环体积，然后进行积分。横向旋转时，取一段[x,dx]，相当于求无限个小矩形长条的体积之和，每一段可看成兀Rdx（底面积x高），R为函数的纵坐标。 需要注意的是，旋转面的面积的微分元是ds，而不是dx，因为求面积时可以看成把弯曲的弧拉直再求，形象的可以想象成一个被压憋的足球，充满气过后它的表面积不变，但是宽度发生了变化。

一元函数微积分是计算线，二元函数微积分是计算各种平面图形，三元函数微积分是各种立体图形，四元函数微积分是三元的基础上加上时间参数。

对于一元积分，被积函数不变，只要找到积分上限和下限就可以进行积分，而对于二元函数，我们首先要固定一个变量，找出另一个变量的积分上下限，对愿函数进行积分，接着对另一个位置参数约定上下限，再对已经积分过一次的被积函数积分一次。

应用

函数是数学的一个基本概念，其概念的形成有较长的历史过程。在古代数学中函数依赖的思想没有明显地表达出来，而且不是独立的研究对象。函数概念的雏形在中世纪开始出现于学者的著作中。

但仅仅在17 世纪，首先在费马、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨的工作中，函数才作为一个独立的概念逐渐定形。函数一词最先出现在莱布尼茨的著作中，用以表示随曲线上的点变动的量。

1、第一步∫a,-af(-x)dx=∫-a,af(t)d(-t)相等吗？

相等，因为一开始就设了令-x=t,则x=-t，你把x换成-t即可

2、说当x=-a,t=a,当x=a,t=-a是什么意思，对解题有什么意义

有意义，因为f(x)是[-a,a]上的连续函数，而当x=-a,t=a,当x=a,t=-a

即x∈[-a,a]，t也属于[-a,a]

所以f（t）的也是在[-a,a]上的连续函数，这样就可以对f（t）在[-a,a]上进行积分

原式=∫x/(1+x^2)dx -∫1/(1+x^2)dx

=05∫1/(1+x^2)d(1+x^2) -arctanx

=05 ln(1+x^2)+arctanx +C