怎么判断一个函数是不是周期函数？

首先 应该知道这个函数的表达式了吧

不妨假设这个函数是周期函数，周期为T，则对任意定义域里的x，都有f(x+T)=f（x），记住是对所有的x,都满足。

把f(x+T)的表达式表示出来，化简，与f(x)的表达式比较。

证明f（x+T）=f（x）即可。

周期函数的判定方法分为以下几步：

（1）判断f（x）的定义域是否有界；

例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函数。

（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。

例：f（x）=cosx^2 是非周期函数。

（3）一般用反证法证明。（若f（x）是周期函数，推出矛盾，从而得出f（x）是非周期函数）。

例：证f（x）=ax+b(a≠0）是非周期函数。

证：假设f（x）=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使之成立 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0，aT=0 又a≠0，

∴T=0与T≠0矛盾，

∴f（x）是非周期函数。

扩展资料：

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

周期函数的性质共分以下几个类型：

（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T，那么f（x）的任何正周期T一定是T的正整数倍。

（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

若f（x）是集M上以T为最小正周期的周期函数，则f（ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

证：

先证f（ax+b）的周期。

∵T是f（x）的周期，

∴f（x±T）=f（x），有X±T∈M，以ax+b替换x得，f（ax±T+b）=f（ax+b），此时ax+b∈M，提取a为公因式得，f[a（x+T/a）+b]=f（ax+b）

∴T/a是f（ax+b）的周期。

再证是f（ax+b）的最小正周期。

假设存在T’/a（0<T’<T；）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T’/a）+b）=f（ax+b），用x/a-b/a替换x，得f（x+T’）=f（x）

∴T’是f（x）的周期，但 T’<T这与T是f（x）的最小正周期矛盾。

∴不存在T’/a（0<T’<T；）是f（ax+b）的周期，即f（ax+b）的最小正周期为T/ a。

——周期函数

图中红色曲线是 y=xcosx 的图像，绿色曲线是 y=cosx 的图像。

y=xcosx 是奇函数，关于原点对称，不是周期函数。

y=cosx 是偶函数，关于 y 轴对称，是周期函数。

y=xcosx 的曲线包络是 y=x 和 y=-x，可视为 y=cosx 的振幅按 y=±x 被调制。

x 正半轴从 x=kπ/2（k 是自然数）起，y=xcosx 与 y=cosx 的极大值、极小值和零点是同步的

x 负半轴从 x=-kπ/2（k 是自然数）起，y=xcosx 与 y=cosx 的极大值与极小值反相，零点同步