求解数学问题:多元函数求极值

多元函数的极值及最大值、最小值

定义设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式

，

则称函数在点有极大值。如果都适合不等式

，

则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。

例1 函数在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。

例２函数在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。

例３　函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。

定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：

证不妨设在点处有极大值。依极大值的定义，在点的某邻域内异于的点都适合不等式

特殊地，在该邻域内取，而的点，也应适合不等式

这表明一元函数在处取得极大值，因此必有

类似地可证

从几何上看，这时如果曲面在点处有切平面，则切平面

成为平行于坐标面的平面。

仿照一元函数，凡是能使同时成立的点称为函数的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数的驻点，但是函数在该点并无极值。

怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。

定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令

则在处是否取得极值的条件如下：

(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；

(2)时没有极值；

(3)时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下：

这是条件极值问题,得用Lagrange乘子法解决

设F=x+2y+k(x^2+y^2--5),则aF/ax=1+2kx=0

aF/ay=2+2yk=0,aF/ak=x^2+y^2--5=0,

由第一和第二个方程解出x=--1/2k,y=--1/k,代入第三个方程得

4k^2=1,k=1/2或k=--1/2,对应的

x=--1,y=--2,或x=1,y=2z(--1,--2)=--5,z(1,2)=5,

因此最大值是5,最小值是--5,分别在(1,2)和（--1,--2）达到

当然,此题其实可以用初等数学知识解决,只需令x=根号(5)cosa,y=根号(5)sina,就可以了

设函数z=f(x,y)在点（x。,y。）的某邻域内有连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x。,y。）,fy(x。,y。）=0,令

fxx(x。,y。)=A,fxy=(x。,y。）=B,fyy=(x。,y。）=C

则f(x,y)在（x。,y。）处是否取得极值的条件是

（1）AC-BB>0时有极值

（2）AC-BB<0时没有极值

（3）AC-BB=0时可能有极值，也有可能没有极值