球谐波函数怎么计算

向量球谐函数(Vector spherical harmonics)是应用于球坐标系的拉普拉斯方程式的向量解，是球谐函数的向量衍伸形式。在必须计算向量场的电动力学等领域中被广泛应用。

定义

在球坐标系下，拉普拉斯算符作用在一三维向量场上可以写为

利用分离变数法可以将此一方程式的解分解为一系列本征函数的线性组合

其中的径向解与标量球谐函数相同，而为一与角度相关的向量解，也就是向量球谐函数。

向量球谐函数依用途有很多定义方式。这边我们依照 Barrera 等人的定义，以对球谐函数Yℓm(θ, φ)为基础，将三个向量球谐函数表示为

这边是对应球座标 (r, θ, φ) 的向量，而则为其单位向量。

主要特性

依照上述 Barrera 的定义，向量球谐函数有以下特性：

对称性

与球谐函数相同，向量球谐函数有对称性

星号 代表共轭函数。

正交性

三种向量球谐函数彼此两两正交

另外同种类的球谐函数的内积为：

标量场的梯度

对一个标量场，若其多极展开可表示为：

则其梯度可以向量球谐函数表示为：

散度

三种向量球谐函数之散度分别为：

其中为球谐函数之径向分布，为球谐函数。

球谐函数，是拉普拉斯方程的球坐标系形式解的角度部分，是近代数学的一个著名函数，在量子力学，计算机图形学，渲染光照处理以及球面映射等方面广泛应用。

拉普拉斯方程在球坐标系中的表达式分离变量之后，角度部分的偏微分方程称为球函数方程。

解的过程

为了使两个函数正交，如最后的图中，计算后我们可得α= - β。

至于这个积分，这两个函数都已经给出了啊（你的图1中第二个式子和第三个式子）。u1和u2都是正交的，也是归一的。直接代入积分算就是了。

你要领会施密特正交方法的内在含义。为了把一系列不正交的向量正交化，首先随便选取一个，再选第二个向量，把其中的向量1方向分量去除掉，就得到了第二个正交向量，以此类推。你可以花时间好好理解下。

埃尔米特（Hermite）多项式给出了量子谐振子的本征态。

Hermite多项式的形式为：

u''-2zu'+(λ-1)u=0，采用级数解法。通过比较，可以得到该无穷级数的每一项的系数，表达式为1，2z，4z^2-2，其生成函数为exp（-s^2+2zs）

由此可以证明H多项式的正交归一性。