求下列函数的极值

y=(1+3x)/√(4+5x²)

y'=[3√(4+5x²)-(1+3x)·10x/2√(4+5x²)]/(4+5x²)

=3(4+5x²)-(1+3x)·5x/(4+5x²)√(4+5x²)

驻点：12-5x=0

x=12/5

当x<12/5,y'>0,y单调递增

x>12/5,y'<0,y单调递减

∴y(12/5)是极大值=√205/10

1y=4x-x^2=-（x-2)^2+4,

x=2时y极大值=4

2y=4x^3-3x+1，

y'=12x^2-3=12(x+1/2)(x-1/2),

-1/2<x<1/2时y'<0,y是减函数，其他，y是增函数，

∴x=-1/2时y取极大值2，

x=1/2时y取极小值0

3y=x^4-18x^2=(x^2-9)^2-81,

y'=4x^3-36x=4x(x-3)(x+3),

x<-3或0<x<3时y'<0,y是减函数；

-3<x<0,或x>3时y'>0,y是增函数：

∴x=土3时y取极小值-81，x=0时y取极大值0

注意：1,3两题解法不同，是由于第3题的函数是双二次函数。

求下列函数的极值点与极值

(1)。y=x³-3x²+7

解：令y'=3x²-6x=3x(x-2)=0，得x₁=0，x₂=2；

x₁时极大点，x₂是极小点。极大值y=y(0)=7；极小值y=y(2)=8-12+7=3

(2)。y=x+√(1-x);

解：定义域：由1-x≧0，得定义域为x≦1;

令y'=1-1/[2√(1-x)]=0，得1/[2√(1-x)]=1，2√(1-x)=1, 1-x=1/4，故x=3/4；

即有唯一驻点x=3/4；当x<3/4时y'>0；当x>3/4时y'<0，故x=3/4时极大点。

极大值=y(3/4)=3/4+√(1-3/4)=3/4+1/2=5/4

求函数f'(x)的极值：

1、找到等式f'(x)=0的根

2、在等式的左右检查f'(x)值的符号。如果为负数，则f(x)在这个根得到最大值；如果为正数则f(x)在这个根得到最小值。

3、判断f'(x)无意义的点。首先可以找到f'(x)=0的根和f'(x)的无意义点。这些点被称为极点，然后根据定义来判断。

4、函数z=f(x,y)的极值的方法描述如下：

(1)解方程式f(x)(x,y)=0，fy(x,y)=0，求一个实数解，可以求所有的塞音；

(2)对于每个停止点(x 0,y 0)，找到二阶偏导数的值a,b,c；

(3)确定ac-b2的符号，并根据定理2的结论确定f(x 0,y 0)是一个最大值、最大值还是最小值。

上面介绍的极值必要条件和充分条件都是对函数在极值点可导的情形才有效的。当函数仅在区域D内的某些孤立点(x, y)不可导时，这些点当然不是函数的驻点，但这种点有可能是函数的极值点，要注意另行讨论。