大学微积分 如何判断函数是连续函数

首先按定义,函数在某点连续,当且仅当该函数在该点左右极限都存在且相等,且在该点的函数值等于极限值

其次,可以用柯西收敛准则来判断,函数f(x)在x0连续等价于：

对任意的η>0,存在δ>0,使得当x1,x2都落在x0的δ邻域内时|f(x1)-f(x2)|

(1)函数f（x）在点x0处可导，知函数f（x）在点x0处连续

(2)函数f（x）在点x0处可导，知函数f（x）在点x0存在切线。

(3)函数f（x）在点x0处可导，知函数f（x）在点x0处极限存在。

第一：从原式判断这个函数是不是有没有定义的点，还要知道他要求的区间，比如y=1/x，分母是取不到x=0的，你区间要求是负无穷到正无穷的话，那在x=0点是取不到的，肯定是不连续的，要求是0到正无穷，或者是负无穷到0的话，这是连续的。

第二：就是间断点，比如是分段函数，这个你就要求他这个分段点的左极限和右极限，看是否相等，相等就是连续，不等就是不连续。

摘要：函数的一致连续性是数学重要的概念,目前关于一致连续的判别方法主要是利用一致连续的定义和Cantor定理,通过判断函数一致连续性的两种方法：导数判断法和极限判断法,以及对这两种方法的相关定理的证明、实例介绍应用,使得对函数一致连续性的判断方法简单化、明了化 关键词：一致连续；导数判断法；极限判断法 弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续理论的关键数学分析中只给出的关于一致连续的判别方法主要是用一致连续性的定义和Cantor定理,为了使我们对函数一致连续性理论的全面掌握,作为对教材内容的适当扩充和补充,我另外归纳总结了以下两种判断函数一直连续的方法

根据函数的连续性定义来判断。

函数连续性定义：

对定义域内任意一个x0，在x0的领域内都有limf(x)=f(x0)(x->x0)

即函数在x0处的极限值等于该点的函数值时，由函数在该点连续，如果函数在定义域内的每一个点都连续，则该函数在定义域内连续。

从图像上看，函数连续，则图像是一条不断开的曲线。如果从某点处断开，则函数在该点就不连续了。

判断连续用定义法,函数f(x)在点x0是连续的,是指

lim(x→x0)f(x)=f(x0)

函数在某个区间连续是指

任意x0属于某个区间都有以上的式子成立

还有一条重要结论：初等函数在其有意义的定义域内都是连续的

从图像上看,可导函数是一条光滑曲线,即没有出现尖点,如y=x绝对值在x=0处是尖点,故不可导而且因为可导必连续,所以不连续点（间断点）一定不可导

从定义上,f'(x0)=lim△x→0 [f(x0+△x)-f(x0)]/△x

我们必须求出函数f(x) 在x=x0处可导的充分必要条件是x=x0处的左右导数都存在且相等,即f'(x0-0)=f'(x0+0)