高数凹凸性证明

关于凸函数的确定，有如下定理：

一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负时成立；

凸函数还有如下性质：

f[(x1+x2)/2]≤[f(x1)+f(x2)]/2；其中x1和x2是函数定义域中不同的两个值。

以上是所需的定理。

证明：

设f(t)=t^n（x>0，n>1）

则有f(x)的二阶导函数f "(t)=(n²-n)t^(n-2)

因为n>1所以n²-n=n(n-1)>0

又x>0，所以x^(n-2)>0

所以f "(t)>0成立。

所以f(t)是凸函数。

令t1=x，t2=y

则有(x^n+y^n)/2>[(x+y)/2]^n

题目得证。

希望能够帮到你。

f(x)<=1/2f(x1)+1/2f(x2),x=(x1+x2)/2,注意到1/2=x2-x/x2-x1=x-x1/x2-x1,那么代入

f(x)<=(x2-x)/(x2-x1)f(x1)+(x-x1)/(x2-x1)f(x2),等价于f(x)(x2-x1)<=(x2-x)f(x1)+(x-x1)f(x2) （1）

那个二阶条件是充要条件，

必要性证明，假设是凹的，（1）式改写成，f(x)-f(x1)/x-x1<=f(x2)-f(x)/x2-x,其中x1<x<x2,令x趋向x1和x2,并求极限，由导数定义，f'(x1)<=f(x2)-f(x1)/x2-x1,f'(x2)>=f(x2)-f(x1)/x2-x1,所以f'(x1)<=f'(x2),即导函数单调增，f''(x)>=0

充分性证明，由于f''(x)>=0,f'(x)单调增（广义的），这里要用拉格朗日定理了

f(x)-f(x1)/x-x1=f'(a),其中x1<a<x

f(x2)-f(x)/x2-x=f'(b),其中x<b<x2

所以f'(a)<=f'(b),

即f(x)-f(x1)/x-x1<=f(x2)-f(x)/x2-x

显然与凹定义等价

证毕

凸函数同理，这里不再赘述

（资料来源：百度贴吧）

f"(x)>0：图形是向下凹的。

f"(x)<0：图形是向上凸的。

求取函数的一阶导数f'(x)、 二阶导数f"(x)，如果：

f'(x)>0；f"(x)<0：函数图形是单调递增“↗”“上”“凸”的曲线。

f'(x)<0；f"(x)<0：函数图形是单调递增“↘”“下”“凸”的曲线。

f'(x)>0；f"(x)>0：函数图形是单调递增“↗”“上”“凹”的曲线。

f'(x)<0；f"(x)>0：函数图形是单调递增“↘”“下”“凹”的曲线。

综上所述：

f"(x)<0：图形是凸的。

f"(x)>0：图形是凹的。

扩展资料：

函数y=f（x）的导数yˊ=fˊ（x）仍然是x的函数，则y′′=f′′（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。在图形上，它主要表现函数的凹凸性。

如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。

如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

--二阶导数

意思意思也行

,5,关于凸函数,凹函数的证明题求助!急~~~~~!

Let f(x) be a function on R^n Prove that f is both convex and concave if and only if f(x)=(c^T)x+b for some vector c and scalar b

翻译：f(x)是R^n上一函数证明f既是凸函数也是凹函数当且仅当f(x)=(c^T)x+b （c是某些向量,b是某些系数）

二阶导数存在，则函数可导。

一元函数，可导一定可微，可微也一定可导。

在有限区间上没有第二类间断点(即左右极限至少有一个不存在的间断点)就可积，二阶导数存在，表示没有第二类间断点，所以可积。

凸函数的性质之一为：

定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。

扩展资料：

可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。