幂级数怎么理解?能形象通俗说明一下吗?

我个人的理解:幂级数就是带上了函数x的级数,不同的幂级数有自己的收敛半径

主要用途:对任意阶可导的f(x),可以展开成幂级数的形式

即在x在收敛域内,幂级数收敛于f(x),或者说幂级数的和函数就是f(x)

用处就很多了,比如你求极限的时候:可以把sinx展开成幂级数形式sinx=x-x^3/3!+0(x^3)

当然幂级数展开也不是万能的,由于需要fx有任意阶导数,但实际中函数很难满足这一点

故有了后面的傅立叶级数,不要求fx可导,甚至不需要fx连续,应用范围比幂级数更广

高数课本上对函数幂级数的展开式唯一性的介绍如下图所示，教材上也有证明过程，证明方法是假设不唯一，相减得零可导出矛盾，故唯一。例子教材上也有，证明过程和例子太过复杂，不能打出来，有需要的请自行查看教材。

扩展资料：

幂级数的定义：

设u1(x),u2(x),,un(x),是定义在某区间I上的函数列，则表达式

(1)

称为定义在区间I上函数项级数。

如果式（1）上的各项un(x)都是定义在区间(-∞，+∞）上的幂函数，函数项级数

(2)

称作幂级数，其中x0为常数，a0,a1,,an称为幂级数的系数。

函数展开为幂级数问题：

1先看看能不能直接套常用幂级数的公式，

2看看能不能提取常数等恒等变型为了套用公式，

3像本题，就可以先把2x放在一边，把剩下得函数变型一下，

4剩下的函数，你稍微提取一个常数就可以套用常用的幂级数公式，

5如果是一些反三角函数，这时，可能我们先求导，把它变为有理整式或分式，然后通过变型，套用所学公式，

6求收敛区间问题，先看x是不是缺项，

7比如本题，x的2n+1 比方，只有奇数比方，说明是缺项的，

8对于缺项的幂级数，求收敛区间时，只能用我所写的方法，

9如果是不缺项的，可以先求ρ，再求R。

1/(1-x)=∑x^n (-1 1、这是公比为q=x的等比级数求和公式的反过来应用，可以直接使用，没有必要写出具体过程， 如果一定要写，就写在下面，略有点麻烦，其中第步要用到收敛的等比级数的余项级数，仍然是等比级数和，这是中学知识 2、f(x)=1/(1-x)，f'(x)=1/(1-x)^2，f''(x)=2!/(1-x)^3，f'''(x)=3!/(1-x)^4，……， [f(x)](n阶导)=n!/(1-x)^(n+1)， ②f(0)=1，f'(0)=1，f''(0)=2!，f‘''(0)=3。

1、幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。

2、幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。