高一所有函数的最大值和最小值应该如何求？

函数的最值求解一、观察法：对于简单的函数，可由已知解析式将其适当变形后，直接求出它的最值二、判别式法：有些函数经过适当变形后，可整理为关于Fx 的二次型 由于 为实数，所以，此类函数可以用判别式求最值但要注意把变形过程中函数值域扩大（或缩小）的部分去掉（或找回）三、单调性法： 如果函数在定义域范围内的各单调区间上是有界的（可能只有上界无下界或只有下界无上界），可先求出各区间上的值域，再由它们的并集确定原函数的值域，从而求得函数的最值四、均值不等式法：若、∈，＋=，=当是定值，则当且仅当=时，有最小值；当是定值，则当且仅当=时，有最大值五、三角代换法：对于某些函数的最值，可利用三角代换巧妙地求解在作代换时，可根据不同的函数解析式作相应的代换如：＋ =（＞），可令；＋≤（＞），可令 （）； －=，可令等六、数形结合法：将一些抽象的解析式赋予几何意义，然后通过图形的属性及数量关系进行“数”与“形”的信息转换，也是解决最值问题的一种常用方法七、巧设坐标法：对于无理函数最值的求解，可利用直角坐标系中的某些特殊点的位置加以解决八、利用复数的模：将无理数看成复数的模，然后利用复数模的概念及复数模的不等式，也是解决某些无理函数最值的有效方法但要注意的是必须满足所有复数和的模为常数

解：

最大值为f(6)，最小值为f(2)，过程如下：

在区间-4，-2上递减，说明在此区间上f(-2)为最小值，f(-4)为最大值

在区间-2，6上递增，说明在此区间上f(-2)为最小值，f(6)为最大值

因此在-4，6上函数最小值显然是f(2)，最大值为f(-4)或f(6)

又f(-4)＜f(6),所以函数最大值是f(6)

要看是什么样的函数了；如果是一次函数的话那么在闭区间[a,b]在起点和终点的函数值分别是它的最小和最大值；如果是二次函数的话就要分情况来讨论了，（1）开口向上的时候，在定义域内有最小值；若是给一个区间范围还要看看这个区间包括顶点和不包括顶点两个类，包括顶点那么顶点就是函数的最小值，不包括顶点的是后如果区间在函数对称轴的右侧那么起点的函数值是最小值，如果区间在函数对称轴的左侧那么终点的函数值是最小值；（2）开口向下的时候，在定义域内有最大值；若是给定一个区间范围也要看这个区间是否包括顶点；如果包括顶点那么顶点的纵坐标就是函数的最大值，如果不包括顶点的且区间在对称轴的左侧那么终点是函数的最大值，相反起点的函数值是函数的最大值；还有指数函数对数函数的最值的求法，都要讨论函数在所给的定义域内的单调性；然后再来求函数的最值。

如果是一元函数：y=f(x)那么：

第一步，确定函数的定义域；

第二步，求出使f '(x)=0的点，即驻点，再确定哪些驻点是极值点，哪些不是极值点；然后求出极值点的函数值；

第三步，确定有没有f '(x)不存在的点？如果有，需要判断这些点是否为极值点，并求出这些点的函数值；

第四步，求出定义区间端点的函数值；

第五步，从以上求出的所有函数值中选出最大的，就是最大值，选出最小的就是最小值。

三角函数最值是中学数学的一个重要内容,加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识,沟通三角,代数,几何之间的联系,培养学生的思维能力

本文介绍三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法

一,利用三角函数的有界性

利用三角函数的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1来求三角函数的最值

[例1]a,b是不相等的正数

求y=的最大值和最小值

解:y是正值,故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小)

y2=acos2x+bsin2x+2·+asin2x+bcos2x

=a+b+

∵a≠b,(a-b)2>0,0≤sin22x≤1

∴当sin2x=±1时,即x=(k∈Z)时,y有最大值;

当sinx=0时,即x= (k∈Z)时,y有最小值+

二,利用三角函数的增减性

如果f(x)在[α,β]上是增函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(β),最小值f(α);如果f(x)在[α,β]上是减函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(α),最小值f(β)

[例2]在0≤x≤条件下,求y=cos2x-sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值

解:利用二倍角余弦公式的变形公式,有

y=-2sin2x-3·=2(cos2x-sin2x)-1

=2 (cos2xcos-sin2xsin)-1

=2cos(2x+)-1

∵0≤x≤,≤2x+≤

cos(2x+)在[0,)上是减函数

故当x=0时有最大值

当x=时有最小值-1

cos(2x+)在[,]上是增函数

故当x=时,有最小值-1

当x=时,有最大值-

综上所述,当x=0时,ymax=1

当x=时,ymin=-2-1

三,换元法

利用变量代换,我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解

[例3]求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值和最小值

解:f(x)=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)+sin2xcos2x

=1+2sinxcosx-sin2xcos2x

令t=sin2x

∴-≤t≤ ①

f(t)=1+2t-t2=-(t-1)2+2 ②

在①的范围内求②的最值

当t=,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)max=

当t=-,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)min=-

附:求三角函数最值时应注意的问题

三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一,也是会考,高考必考内容,在求解中欲达到准确,迅速,除熟练掌握三角公式外,还应注意以下几点:

一,注意sinx,cosx自身的范围

[例1]求函数y=cos2x-3sinx的最大值

解:y=cos2x-3sinx=-sin2x-3sinx+1=-(sinx+)2+

∵-1≤sinx≤1,

∴当sinx=-1时,ymax=3

说明:解此题易忽视sinx∈[-1,1]这一范围,认为sinx=-时,y有最大值,造成误解

二,注意条件中角的范围

[例2]已知|x|≤,求函数y=cos2x+sinx的最小值

解:y=-sin2x+sinx+1=-(sinx-)2+

∵-≤x≤

∴-≤sinx≤

∴当sinx=-时

ymin=-(--)2+=

说明:解此题注意了条件|x|≤,使本题正确求解,否则认为sinx=-1时y有最小值,产生误解

三,注意题中字母(参数)的讨论

[例3]求函数y=sin2x+acosx+a-(0≤x≤)的最大值

解:∵y=1-cos2x+acosx+a-=-(cosx-)2++a-

∴当0≤a≤2时,cosx=,ymax=+a-

当a>2时,cosx=1,ymax=a-

当a<0时,cosx=0,ymax=a-

说明:解此题注意到参数a的变化情形,并就其变化讨论求解,否则认为cosx=时,y有最大值会产生误解

四,注意代换后参数的等价性

[例4]已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π),求y的最大值,最小值

解:设t=sinθ-cosθ=sin(θ-)

∴2sinθcosθ=1-t2

∴y=-t2+t+1=-(t-)2+

又∵t=sin(θ-),0≤θ≤π

∴-≤θ-≤

∴-1≤t≤

当t=时,ymax=

当t=-1时,ymin=-1

说明:此题在代换中,据θ范围,确定了参数t∈[-1,],从而正确求解,若忽视这一点,会发生t=时有最大值而无最小值的结论

1y=asinx+bcosx型的函数

特点是含有正余弦函数,并且是一次式解决此类问题的指导思想是把正,余弦函数转化为只有一种三角函数应用课本中现成的公式即可:y=sin(x+φ),其中tanφ=

例1当-≤x≤时,函数f(x)=sinx+cosx的( D )

A,最大值是1,最小值是-1 B,最大值是1,最小值是-

C,最大值是2,最小值是-2 D,最大值是2,最小值是-1

分析:解析式可化为f(x)=2sin(x+),再根据x的范围来解即可

2y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数

特点是含有sinx, cosx的二次式,处理方式是降幂,再化为型1的形式来解

例2求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并求出y取最小值时的x的集合

解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x

=1+sin2x+1+cos2x

=2+sin(2x+)

当sin(2x+)=-1时,y取最小值2-,此时x的集合{x|x=kπ-π, k∈Z}

3y=asin2x+bcosx+c型的函数

特点是含有sinx, cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数来求解

例3求函数y=cos2x-2asinx-a(a为常数)的最大值M

解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a,

令sinx=t,则y=-(t+a)2+a2+1-a, (-1≤t≤1)

(1) 若-a1时, 在t=-1时,取最大值M=a

(2) 若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1时,在t=-a时,取最大值M=a2+1-a

(3) 若-a>1,即a0,

y2=4cos4sin2

=2·cos2·cos2·2sin2

所以0 注:本题的角和函数很难统一,并且还会出现次数太高的问题

6含有sinx与cosx的和与积型的函数式

其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子,处理方式是应用

(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 进行转化,变成二次函数的问题

例6求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值

解:令sinx+cosx=t (-≤t≤),则1+2sinxcosx=t2,所以2sinxcosx=t2-1,

所以y=t2-1+t=(t+)2-,

根据二次函数的图象,解出y的最大值是1+

相信通过这一归纳整理,大家对有关三角函数最值的问题就不会陌生了并且好多其它的求最值的问题可以通过代换转化成三角求最值的问题希望同学们在做有关的问题时结合上面的知识

方法：

1、确定函数的定义域；

2、将定义域边界值代入函数求出函数值；

3、对函数进行一次求导，令其等于0；

4、解得X值，分别将求得的X值代入函数求出函数值；

5、将前后两组函数值进行比较即可得到最大值和最小值。

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。定理（第一种充分条件）设函数在点处连续，在的某去心邻域内可导。

(1)若时，而时，则函数在处取得极大值。

(2)若时，而时，则函数在处取得极小值。

(3)如果时，不改变符号，则函数在处没有极值。

(4)列表判断（考察的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况蠢乱，以便确定该点是贺宴否是极值点，如果是极值点，还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值）。

极值是函数的局部性概念：

因此函数的极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值。驻点和不可导点统称为临界点。函数的极值必在临界点处取得。极值的判别法要注意使用条件极值与最值的关系：函数的极大值和极小值概念是局部性的。

如果是函数的一个极大值，那只是就附近的一个局部范围来说，是的一个最大值。如果就的整个定义域来说，不一定是最大值。对于极小值情况类似。设函数在闭区间上连续，则函数的最大值和最小值一定存在。函数的最大值和最小值有可能在区间的端点带拍档取得，如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间内取得。