椭圆曲线的定义

椭圆曲线是域上亏格为1的光滑射影曲线，它的(仿射)方程，通常称为维尔斯特拉斯方程，可以写成　如果这个域的特征不等于2和3，则可以改写成

或

作为实曲面看，复数域上的椭圆曲线就是带有一个洞的闭曲面－－环面。环面可以通过同向粘合正方形的两对对边得到，其拓扑亏格为1。

椭圆曲线和椭圆函数，椭圆积分等内容密切相关。 著名的费马大定理的证明也与此有关。总之，椭圆曲线是代数几何中最重要的一类研究对象。

例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：

　　将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

　　设两点为F1、F2

　　对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2

　　则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

　　由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点

椭圆是一种具有旋转对称性的二次曲线，其函数表达式通常可以表示为以下形式：

(x/a)² + (y/b)² = 1

其中，a和b分别是所需椭圆的长半轴和短半轴的长度，(x,y)是椭圆上任意一点的坐标。此外，如果我们确定椭圆心坐标为(h,k)，则可将上述表达式改写如下：

[(x-h)/a]² + [(y-k)/b]² = 1

这种表达方式相比于直接以宽度和高度为基础来定义椭圆，更方便进行变换、延伸或缩小等 *** 作。

例如，假设想要绘制一个位于(3,2)点处，长为6，宽为4的椭圆，则根据上述的椭圆表达式，我们可得到以下方程：

[(x-3)/3]² + [(y-2)/2]² = 1

在这个方程中，长半轴的长度a为3，短半轴的长度b为2，椭圆心的坐标为(3,2)。将每个点的x,y坐标带入此方程即可确定其是否在椭圆上。如果方程值大于1，则不在椭圆内，在椭圆上则值为1，而在椭圆内则小于1。

总之，以上就是椭圆的标准表达式形式，可以帮助我们更清晰的了解和掌握椭圆的性质和参数变化以及相关的计算与绘制技巧。