二阶系统的衰减比和超调量是什么

二阶系统的瞬态响应

凡用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。标准形式的二阶系统的微分方程是

(327)

或

(328)

上两式中，T称为系统的时间常数。

称为系统的阻尼系数或阻尼比，

称为系统的无阻尼自然振荡频率或自然频率。K为放大系数。

图39是标准二阶系统的结构图。

图39 二阶系统的结构图

标准形式二阶系统的闭环传递函数为

(329)

二阶系统的状态空间表达式为

(330)

(331)

在式(330)和式(331)中，设K=1,u(t)为输入函数

1－3

解：系统的工作原理为：当流出增加时，液位降低，浮球降落，控制器通过移动气动阀门的 开度，流入量增加，液位开始上。当流入量和流出量相等时达到平衡。当流出量减小时，系 统的变化过程则相反。

流出量

希望液位

图一

1－4 （1） （2） （3） （4） （5） （6）

非线性系统 非线性时变系统 线性定常系统 线性定常系统 线性时变系统 线性定常系统

2-1 解：

显然，d簧力为 kx(t ) ，根据牛顿第二运动定律有：

d 2 x(t )

F (t ) − kx(t) = mdt 2

移项整理，得机械系统的微分方程为：

2 d x(t )

2+ kx(t ) = F (t )

dt

对上述方程中各项求拉氏变换得：

ms 2 X (s) + kX (s) = F (s)

所以，机械系统的传递函数为：

G(s) =

X (s) 1

=

F (s) ms 2 + k

2-2 解一：

由图易得：

i1 (t )R1 = u1 (t ) − u2 (t ) uc (t ) + i1 (t )R2 = u2 (t )

duc (t )

i1 (t ) = Cdt

由上述方程组可得无源网络的运动方程为：

du1 (t ) du2 (t )

+ + C ( R1 + R u ) = CR2 u1 (t ) 2 )2 (t dtdt

对上述方程中各项求拉氏变换得：

C (R1 + R2 )sU 2 (s) + U 2 (s) = CR2 sU1 (s) + U1 (s)

所以，无源网络的传递函数为：

U (s) 1 + sCR2

G(s) = 2 =

U1 (s) 1 2

解二（运算阻抗法或复阻抗法）：

1+ R2

U (s ) 1 + R Cs 2 2 1 U 1 + ( R + R 1 (s) R 1 2 )Cs+ R1 2

Cs

2-5 解：按照上述方程的顺序，从输出量开始绘制系统的结构图，其绘制结果如下图所示：

依次消掉上述方程中的中间变量 X 1 , X 2 , X 3 , 可得系统传递函数为：

G1 (s)G2 (s)G3 (s)G4 (s) C(s) =

R(s) 1 + G2 (s)G3 (s)G6 (s) + G3 (s)G4 (s)G5 (s) + G1 (s)G2 (s)G3 (s)G4 (s)[G7 (s) − G8 (s)]

2-6 解：

① 将 G1 (s) 与 G1 (s) 组成的并联环节和 G1 (s) 与 G1 (s) 组成的并联环节简化，它们的 等效传递函数和简化结构图为：

G12 (s) = G1 (s) + G2 (s)

G34 (s) = G3 (s) − G4 (s)

② 将 G12 (s), G34 (s) 组成的反馈回路简化便求得系统的闭环传递函数为：

G12 (s) G1 (s) + G2 (s)C(s) =R(s) 1 + G12 (s)G34 (s) 1 + [G1 (s) + G2 (s)][G3 (s) − G4 (s)]

2-7 解：

由上图可列方程组：

[E (s)G1 (s) − C (s)H 2 (s)]G2 (s) = C (s) C (s)

= E (s) R(s) − H1 (sG2 (s)

联列上述两个方程，消掉 E (s) ，得传递函数为：

G1 (s)G2 (s) C(s)

=

R(s) 1 + H1 (s)G1 (s) + H 2 (s)G2 (s)

联列上述两个方程，消掉 C (s) ，得传递函数为：

1 + H 2 (s)G2 (s) E(s)

=

R(s) 1 + H1 (s)G1 (s) + H 2 (s)G2 (s)

2-8 解：

将①反馈回路简化，其等效传递函数和简化图为：

04 2s + 1 = 1 G (s) = 1

04 05 5s + 3 1 +

2s + 1

将②反馈回路简化，其等效传递函数和简化图为：

1 2

5s + 3 s + 03s + 1 G (s) = =2 3 2

04 5s + 45s + 59s + 34 1 + 2

(s + 03s + 1)(5s + 3)

将③反馈回路简化便求得系统的闭环传递函数为：

07 (5s + 3) 3 2 Θ o (s) 35s + 21 = =

Θi (s) 07 Ks(5s + 3) 5s 3 + (45 + 35K )s 2 + (59 + 21K )s + 34

1 +

5s

3-3

解：该二阶系统的最大超调量：

σ p = e

−ζ−ζ

2

π /

100%

当σ = 5% 时，可解上述方程得：

p

ζ =

069

当σ = 5% 时，该二阶系统的过渡时间为：

p

t s ≈ 3

ζ

wn

所以，该二阶系统的无阻尼自振角频率 wn ≈3= 3-4 解：

ζ

t s

3= 217

069 2

由上图可得系统的传递函数：

⑴ 若

10 (1 + Ks)

C (s) s(s + 2) 10 (Ks + 1)== 2 =

s + 2 (1 + 5K )s + 10 R(s) 1 +s(s + 2)

所以 wn =，ζwn = 1 + 5K

K ≈ 0116 = 05 时，

ζ

所以 K ≈ 0116 时，= 05

ζ

⑵ 系统单位阶跃响应的超调量和过渡过程时间分别为：

σ p =

e

−ζ

π /

2

100% = e

−05314 /

100% ≈ 163%

ts = 3 =ζ

≈ 19 05

3

wn

⑶ 加入 (1 + Ks ) 相当于加入了一个比例微分环节，将使系统的阻尼比增大，可以有效

地减小原系统的阶跃响应的超调量；同时由于微分的作用，使系统阶跃响应的速度（即变

化率）提高了，从而缩短了过渡时间：总之，加入 (1 + Ks ) 后，系统响应性能得到改善。

3-5 解：

由上图可得该控制系统的传递函数：

C(s)

10K1 R(s) =τ + 1)s +

s 2 + (101

二阶系统的标准形式为：

10K

C (s)

R(s)= w 2n

s 2 + 2w

ζw s + 2n

n

所以

wn 2 = 10K1 2ζwn = 10τ

+ 1

由

−

σ p=−ζπ / e

ζ 2

100%

t π

p =wn − ζ 2

σ p =

95%

t 05

p = 可得

ζ =

06

wn = 785

w2 n = 10K1

ζ =

由

06

2ζw和

n = 10τ

wn = 785

可得：

+ 1

K1 = 616

τ = 084

t s ≈ 3

ζ

wn

= 064

3-6 解：⑴ 列出劳斯表为：

因为劳斯表首列系数符号变号 2 次，所以系统不稳定。 ⑵ 列出劳斯表为：

因为劳斯表首列系数全大于零，所以系统稳定。 ⑶ 列出劳斯表为：

因为劳斯表首列系数符号变号 2 次，所以系统不稳定。

3-7 解：系统的闭环系统传递函数：

K (s +1)

C (s) s(2s +1)(Ts +1) K (s +1)

= =

R(s) 1 + K (s +1)

s(2s +1)(Ts +1)

K (s +1)

= 3

2Ts+ (T + 2)s 2 + (K +1)s + K

列出劳斯表为：

s3 2T K +1

s2 T + 2 K

(K +1)(T + 2) − 2KT s1

sK

(K + 1)(T + 2) − 2KT > 0 ， K > 0 T > 0 ，T + 2 > 0 ，T + 2

T > 0 K > 0 ， (K + 1)(T + 2) − 2KT > 0

(K +1)(T + 2) − 2KT = (T + 2) + KT + 2K − 2KT

= (T + 2) − KT + 2K = (T + 2) − K (T − 2) > 0 K (T − 2)

3-9 解：

由上图可得闭环系统传递函数：

C (s) KK2 K3

=R(s) 2 3 2 3 2 3

K

代入已知数据，得二阶系统特征方程：

(1 + 01K )s2 − 01Ks − K =

列出劳斯表为：

s2 1 + 01K s1 − 01K s0

− K

− K

可见，只要放大器 −10

3-12 解：系统的稳态误差为：

sess = lim e(t ) = lim sE (s) = lim R(s) s →0 1 t →∞ s→0 + G0 (s)

⑴ G0 (s) =

10

s(01s + 1)(05s + 1)

系统的静态位置误差系数：

K p = lim G 0(s) = lim

s →0

10

= ∞

s →0 s(01s + 1)(05s + 1)

系统的静态速度误差系数：

K v = lim sG0(s) = lim

s →0

10s

= 10

s →0 s(01s + 1)(05s + 1)

系统的静态加速度误差系数：

K s G a = lim

2 s→0

0(s) = lim

10s 2

= 0

s→0 s(01s + 1)(05s + 1)

当 r (t ) = 1(t ) 时， R(s) =

1

s

s1

ess = = 0

s→0 10 s1 +s(01s + 1)(05s + 1)

当 r (t ) = 4t 时， R(s) =

4

s 2

e ss = lim

s 4

2= 04

s →0 1 +s(01s + 1)(05s + 1) s 3

当 r (t ) = t 时， R(s) = 2

2

s 2

ess = lim3= ∞

s →0 10 s

1 +

s(01s + 1)(05s + 1)

当 r(t) = 1(t) + 4t + t 时， R(s) = 2

1 4 2s s 2 s 3

ess = 0 + 04 + ∞ = ∞

3-14 解：

由于单位斜坡输入下系统稳态误差为常值=2，所以系统为 I 型系统

设开环传递函数 G(s) =

K

s(s2 + as + b)

⇒

K

= 05 b

闭环传递函数 φ(s) =G(s) =

1 + G(s) s3 + as2 + bs + K

Q s = −1 ± j 是系统闭环极点，因此

s3 + as2 + bs + K = (s + c)(s2 + 2s + 2) = s3 + (2 + c)s2 + (2c + 2)s + 2c

⎧K = 05b ⎪K = 2c ⎪ ⎨

b = 2c + 2 ⎪ ⎪⎩a = 2 + c

所以 G(s) =

⇒

⎧K = 2

⎪a = 3 ⎪ ⎨

b = 4 ⎪ ⎪1 ⎩c =

2

。 2

s(s+ 3s + 4)

4-1

(a)

(b)

(c)

(d)

4-2

p p 1 = 0,2 = 0, p3 = −1

1 实轴上的根轨迹

(−∞, −1) (0, 0)

1

2 n − m = 3

3 条根轨迹趋向无穷远处的渐近线相角为

180°(2q + 1)

(q = 0,1)

ϕ =±= ±

60a °

,180° 3

渐近线与实轴的交点为

∑n

m

p

i

− ∑ zi

σ =i =1

a

j =1

=0 − 0 −1 = − 1

m

3 3

3 系统的特征方程为

1+G(s) = 1 +

K

s2

(s +1)

= 0

即

K = − s2

(s +1) = −s3 − s2

dK = − 3s2 − 2s =

s(3s + 2) = 0

0ds

根 s1 = 0 （舍去）

s2 = −

4 令 s = jω

代入特征方程 1+G(s) = 1 +

K

s2

(s +1)

= 0 s2 (s +1) + K =0 ( jω )2 ( jω +1) + K =0

−ω 2

( jω +1) + K =0

K − ω 2 − jω =0 ⎧⎨K − ω 2 =0 ⎩ω

= 0

ω=0

（舍去）

与虚轴没有交点，即只有根轨迹上的起点，也即开环极点

p 1,2 = 0

在虚轴上。

2

5-1

G(s) =

5 025s +1 5 G( jω ) =

025 jω +1

A(ω ) ϕ(ω) = − arctan(025ω)

ω=4

输入 r(t) = 5 cos(4t − 30°) = 5 sin(4t +

60°) A(4) =系统的稳态输出为

= ϕ(4) = − arctan(025 4) = −45°

c(t ) = A(4) 5 cos[4t − 30° + ϕ(4)]

= 5 cos(4t − 30° − 45°)

= 1768 cos(4t − 75°) = 1768 sin(4t +15°)

sin α = cos(90° −α ) = cos(α − 90°) = cos(α + 270°)

c(t ) = A(4) 5 sin[4t + 60° + ϕ(4)]

= 5 sin(4t + 60° − 45°)

= 1768 sin(4t +15°)

1

G( jω ) =(1 + jω )(1 + j 2ω )

或者，

5-3

1

（2） G(s) =(1 + s)(1 + 2s)

A(ω ) ϕ(ω) = − arctan ω − arctan 2ω

2 )

ϕ(ω) = − arctan ω − arctan 2ω = −90° arctan ω + arctan 2ω = 90°

ω = 1/(2ω)

2

ω = 1/ 2

A(ω ) == 047 3

与虚轴的交点为（0，-j047）

(ω)

1

（3） G(s) =

1

s(1 + s)(1 + 2s) 1 G( jω ) =

jω (1 + jω )(1 + j2ω )

1 ϕ(ω) = −90° − arctan ω − arctan 2ω A(ω ) 2 )

ϕ(ω) = −90° − arctan ω − arctan 2ω = −180° ω = 1/(2ω)

2 ω = 1/ 2

arctan ω + arctan 2ω = 90°

A(ω ) 2

= = 067

3

与实轴的交点为（-067，-j0）

)

ω （4） G(s) =

1 1 G( jω ) = s2 (1 + s)(1 + 2s) ( jω )2 (1 + jω )(1 + j 2ω )

ϕ(ω ) = −180° − arctan ω − arctan 2ω A(ω ) 2 )

ϕ(ω) = −180° − arctan ω − arctan 2ω = −270° ω = 1/(2ω)

2 ω = 1/ 2

arctan ω + arctan 2ω = 90°

A(ω ) = 094

与虚轴的交点为（0，j094）

ω

)

2

5-4

（2）ω1 = 05 ，ω2 = 1 ， k = 1 ，υ = 0

（3）ω1 = 05 ，ω2 = 1 ， k = 1 ，υ = 1

（4）ω1 = 05 ，ω2 = 1 ， k = 1 ，υ = 2

5-6

G(s) = 1

是一个非最小相位系统

s −1

3

o 1 G( jω ) ==−1 − jω ) j ( −180+arctgω )

jω −1 1 G(s) = 是一个最小相位系统 s +1

1 G( jω ) ==− jω ) − jarctgω

jω +1

5-8(a)

ω = 0

−

ω = ∞

-1

X (ω )

ω = 0

+

系统开环传递函数有一极点在 s 因此乃氏回线中半径为无穷小量ε 的半圆 平面的原点处，弧 对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧：

ω ：0− → 0+ ；θ ：－90°→ 0°→ ＋90°； ϕ(ω) ：＋90°→ 0°→ －90° N=P-Z， Z=P-N=0-(-2)=2 闭环系统有 2 个极点在右半平面，所以闭环系统不稳定 （b）

jY (ω )

ω = 0−

ω = ∞

ω = 0+

4

系统开环传递函数有 2 个极点在 s 平面的原点处，因此乃氏回线中半径为无穷小量ε 的半圆

弧对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧：

ω ：0− → 0+ ；θ ：－90°→ 0°→ ＋90°； ϕ(ω) ：＋180°→ 0°→ －180° N=P-Z， Z=P-N=0-0=0 闭环系统有 0 个极点在右半平面，所以闭环系统稳定 5-10

（1） G(s)H (s) =K Ts +1= K

228K s +1 =s + 228

228

0°

（2） G s ( ) H s ( ) K1 K 1

=228K

= =

s s +1

228

−90°

1

（3） G(s)H (s) = K τ s +1

K s +1 = 05=

4K (s + 05) 2

2

2

s +1

2

b

5

11120 = a −20 lg K + 20 = 40 05 05 05 1

−20 lg K = 20 lg

05

20 lg(K )−1 = 20 lg 2 G(s)H (s) =

K = 1/ 2 = 05

4K (s + 05) 2(s + 05)2

s2 (s + 2) s(s + 2)

−

90°

5-11

jY (ω)

ω = 0

G(s)H (s) =

K K ⇒ G( jω )H ( jω ) s(s +1)(3s +1) = jω ( jω +1)(3 jω +1)

arctan ω + arctan 3ω = 90°

ϕ(ω ) = −90° − arctan ω − arctan 3ω = −180° ω = 1/(3ω)

2

ω = 1/ 3

A(ω ) 3

= K = 1

4

Kc = 4/3 = 133

6

6-2 (1)

2

6 ω G(s) =2 =2

2

s(s+ 4s + 6) s(s+ 2ξωωn s + n )

2

ω = ω 245, 6 n ξ =n

2ξω =4

n

4 2ωn

= 0816 6

K = 1

所以，ωc = 1 20lgK = 0

⎛ 2ξω / ω ⎞ ⎛ 2 0816 1/ 245 ⎞

ϕ (ω ) = −90° − c n= −90° − arctg

⎜ c ⎜ 1 −1/ 2452 ⎟ 2 2 ⎟ 1 − ω / ω

⎝ ⎠ ⎝ c n ⎠

⎛ 2 0816 1 / 245 ⎞ ⎛ 0666 ⎞

= −90° − arctg = −90° − arctg = −90° − arctg 07995⎜1 −1 / 2452⎟ ⎜0833 ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = −90° − 3864° = −12864°

γ = 180° + ϕ (ωc ) = 180° −12864° = 5136°

[1]-10--30-40

(2)

ω1 = 1, ω2 =1/02=5

⎛ 2ξω / ω ⎞ ⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞

c

− arctg c ϕ (ω ) = −90° − c n+ arctg

⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c 2 2 ⎟ 1 − ω / ω ω ω ⎝ c n ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠

1 ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞

= −12864° + − ⎜⎟ ⎜⎟ = −12864° + 45° −1131° = −9495°

1 ⎠ 5 ⎠ ⎝ ⎝

γ = 180° + ϕ (ωc ) = 180° − 9495° = 8505°

1

课后答案网

L(ω) (dB )

50 403020100-10-20--40

G(s) =

ω = 1,

10

s(05s +1)(01s +1)

20 lg K =20lg10=20dB

ω1 = 1/ 05 = 2, ω2 = 1 / 01 = 10

ω1 = 2 时， L(ω1 ) = 20 − 20(lg 2 − lg1) = 20lg10 − 20 lg 2 = 20lg5 = 14dB ω2 = 10 时， L(ω2 ) = 14 − 40(lg10 − lg 2) = −1396dB

所以，ω1

L(ω1 ) = 40(lg ωc − lg 2) = 40(lg ωc / 2) = 14dB

ωc = 448

ϕ (ωc ) = −90° − arctg 05ωc − arctg 01ωc = −90° − arctg 224 − arctg 0448

= −90°− 6594°− 2413° = −18007°

γ = 180° + ϕ (ωc ) = 180° −18007° = −007°

L (ω )(dB)

[1]-10 -20 -30 -40

(2)

G(s)Gc (s) =

ω = 1,

10(033s +1)

20 lg K =20lg10=20dB

ω1 = 1 / 05 = 2, ω2 = 1/ 033 = 3, ω3 = 1 / 01 = 10, ω4 = 1/ 0033 = 30

ω2 = 3 时， L(ω1 ) − L(ω2 ) = 40(lg ω2 − lg ω1 ) 14 − L(ω2 ) = 40(lg 435 − lg 2) L(ω2 ) = 7dB

L(ω3 = 10) − L(ω2 = 3) = −20(lg ω3 − lg ω2 ) = −337dB

所以ω2

L(ω2 ) = 20(lg ωc 2 − lg ω2 ) = 20(lg ωc 2 / 3) = 7dB

ωc 2 = 672

ϕ (ωc ) = −90° − arctg 05ωc 2 − arctg 01ωc 2 + arctg 033ωc 2 − arctg 0033ωc

2

= −90° − arctg 336 − arctg 0672 + arctg 222 − arctg 0222

= −90°− 7343°− 3390°+ 6575°−1252° = −1441°

γ 2 = 180° + ϕ (ωc 2 ) = 180° −1441° = 359°

L(ω )(dB)

50 40 20100--20-30-40

-40dB /dec

20dB /dec

3

可以的

有种题是给你一张响应，叫你提取信息求它的传递函数，一般通过图像就可以求出自然振角频率和阻尼比。然后根据系统型别，设出它的开环传递函数的基本形式，这时候不可以直接用二阶系统基本形式直接带入，因为不是所有的二阶系统都可以化成标准形式。但我们设出来开环基本形式以后可以紧接着求出闭环传函，稍微变换一下，分母就可以用标准型的形式列出和阻尼比以及自然振荡角频率的两个函数，解出来就可以求出它的传递函数。这里我们自己设的开环传函并不是标准形式，但是也可以用它的求解公式，最后的差距也就是差了一个放大倍数

摘 要

随着科学技术的不断的向前发展，人类社会的不断进步。自动化技术取得了巨大的进步，自动控制技术广泛应用于制造业、农业、交通、航空及航天等众多产业部门，极大的提高了社会劳动生产率，改善了人们的劳动条件，丰富和提高了人民的生活水平。当今的社会生活中，自动化装置无所不在，自动控制系统无所不在。因此我们有必要对一些典型、常见的控制系统进行设计或者是研究分析。

一个典型闭环控制系统的组成是很复杂的。通常都由给定系统输入量的给定元件、产生偏差信号的比较元件、对偏差信号进行放大的放大元件、直接对被控对象起作用的执行元件、对系统进行补偿的校正元件及检测被控对象的测量元件等典型环节组成。而控制系统设计则是根据生产工艺的要求确定完成工作的必要的组成控制系统的环节，确定环节的参数、确定控制方式、对所设计的系统进行仿真、校正使其符合设计要求。同时根据生产工艺对系统的稳、快、准等具体指标选择合适的控制元件。

原理分析

11 信号流图

信号流图是表示线性代数方程的示图。采用信号流图可以直接对代数方程组求解。在控制工程中，信号流图和结构图一样，可以用来表示系统的结构和变量传递过程中的数学关系。所以，信号流图也是控制系统的一种用图形表示的数学模型。由于它的符号简单，便于绘制，而且可以通过梅森公式直接求得系统的传递函数。因而特别适用于结构复杂的系统的分析。

信号流图可以根据微分方程绘制，也可以从系统结构图按照对应的关系得到。

任何线性方程都可以用信号流图表示，但含有微分或积分的线性方程，一般应通过拉氏变换，将微分方程或积分方程变换为s的代数方程后再画信号流图。绘制信号流图时，首先要对系统的每个变量指定一个节点，并按照系统中的变量的因果关系，从左到右顺序排列；然后，用表明支路增益的支路，根据数学方程式将各节点变量正确连接，便得到系统的信号流图。

在结构图中，由于传递的信号标记在信号线上，方框则是对变量进行变换或运算的算子。因此，从系统结构图绘制信号流图时，只需在结构图的信号线上用小圆圈标志出的传递信号，便得到节点；用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，便得到支路，于是，结构图也就变换为相应的信号流图了。

12 传递函数

线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

结构图的等效变换和简化

由控制系统的结构图通过等效变换（或简化）可以方便地求取闭环系统的传递函数或系统输出量的响应。实际上，这个过程对应于由元部件运动方程消去中间变量求取系统传递函数的过程。

一个复杂的系统结构图，其方框间的连接必然是错综复杂的，但方框间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。因此结构图简化的一般方法是移出引出点或比较点，交换比较点，进行方框运算将串联、并联和反馈连接的方框合并。在简化过程中应遵循变换前后关系保持等效的原则，具体而言，就是变换前后前向通路中传递函数的乘积应保持不变，回路中传递函数的乘积应保持不变。

串联方框的简化（等效）

传递函数分别为G1(s) 和G2(s) 的两个方框，若G1(s) 的输出量作为G2(s) 的输入量，则G1(s) 与G2(s) 称为串联连接，见图1 – 1 。

图1 – 1 串联方框的简化（等效）

132 并联方框的简化（等效）

传递函数分别为G1(s) 和G2(s) 的两个方框，如果他们有相同的输入量，而输出量等于两个方框输出量的代数和，则G1(s) 与G2(s) 称为并联连接，

见图1 – 2 。

图1 – 2 串联方框的简化（等效）

133反馈连接方框的简化（等效）

若传递函数分别为G1(s) 和G2(s) 的两个方框，如图1 – 3 形式连接，则称为反馈连接。“ + ”号为正反馈，表示输入信号与反馈信号相加；“ — ”则表示相减，是负反馈。

图1-3 反馈连接方框的简化（等效 ）

Ф(s)表示闭环传递函数，负反馈时， Ф(s)的分母为1＋回路传递函数，分子是前向通路传递函数。正反馈时， Ф(s)的分母为1－回路传递函数，分子为前向通路传递函数。单位负反馈时，

14稳定裕度

控制系统稳定与否是绝对稳定性的问题。而对一个稳定的系统而言，还存在着一个稳定的程度的问题。系统的稳定程度则是相对稳定的概念。相对稳定性与系统的瞬态响应指标有着密切的关系。在设计一个控制系统时，不仅要求它是绝对稳定的，而且还应保证系统具有一定的稳定程度，即具备适当的稳定性。只有这样，才能不致因建立数学模型和系统分析计算中的某些简化处理，或因系统参数变化而导致系统不稳定。

对于一个开环传递函数中没有虚轴右侧零、极点的最小相位系统而论，G K ( jω ) 曲线越靠近 （- 1，j 0）点，系统阶跃相应的震荡就越强烈，系统的相对稳定性就越差。因此，可用G K ( jω ) 曲线对（- 1，j 0）点的靠近程度来表示系统的相对稳定程度。通常，这种靠近程度是以相角裕度和幅值裕度来表示的。

141 相角裕度

设ωc 为系统的截止频率，A ( ωc ) = | G ( jωc ) H( jω c) | = 1 ,定义相角裕度为

γ =180° +∠G ( jωc ) H( jω c)

相角裕度γ的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后γ度后，则系统将处于临界稳定状态。

142 幅值裕度

设ωx为系统的穿越频率 ，

φ( ωx ) = ∠ G ( jωx ) H( jω x ) = ( 2k + 1 ) π ; k = 0 , ± 1 , ± 2 ……定义幅值裕度为

h = 1 /|G(jωx)H(jωx)|

幅值裕度h的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统将处于临界稳定状态，复平面中γ和h的表示如图1-4 所示

图1-4 相角裕度和幅值裕度

15 线性系统的校正方法

基于一个控制系统可视为由控制器和被控对象两大部分组成，当被控对象确定后，对系统的设计实际上归结为对控制器的设计，这项工作称为对控制系统的校正。按照校正系统在系统中的连接方式，控制系统校正方式可分为串联校正、反馈校正、前馈校正和复合校正。

151 串联校正

串联校正装置一般接在系统误差测量点之后和放大器之间，串接于系统前向通路之中，如图1 – 5 。串联校正装置有源参数可调整。

图1 – 5 串联校正

152 反馈校正

反馈校正装着接在系统反馈通路之中。如图1 – 6 。反馈校正不需要放大器，可消除系统原有部分参数波动对系统性能的影响。

图1 – 6 反馈校正

153 前馈校正

前馈校正又称顺馈校正，是在系统主反馈回路之外采用的校正方式。前馈校正装置接在系统给定值之后及主反馈作用点之前的前向通路上，如图1 – 7 所示，这种校正方式的作用相当于给定值信号进行整形或滤波后，再送入反馈系统；另一种前馈校正装置接在系统可测扰动作用点与误差测量点之间，对扰动信号进行直接或间接测量，并经变换后接入系统，形成一条附加的对扰动影响进行补偿的通道，如图1 – 8 所示。

图1 – 7 前馈校正1 图1 – 8 前馈校正2

154 复合校正

复合校正方式是在反馈控制回路中，加入前馈校正通路，形成一个有机整体，如图1 – 9 所示。

图1 – 9 复合校正

16 期望对数频率特性设计方法

期望特性设计方法是在对数频率特性上进行的，设计的关键是根据性能指标绘制出所期望的对数幅频特性。而常用的期望对数频率特性又有二阶期望特性、三阶期望特性及四阶期望特性之分。

161 基本概念

系统经串联校正后的结构图如图所示。其中G0(s)是系统固有部分的传递函数，Gc(s)是串联校正装置的传递函数；显然，校正后的系统开环传递函数为

G(s) = Gc(s) G0(s)

取频率特性，有

G(jω) = Gc(jω) G0(jω)

对上式两边取对数幅频特性，则

L(ω) =Lc(ω) + L0(ω)

式中，L0(ω)为系统固有部分的对数幅频特性；

Lc(ω)为串联校正装置的对数幅频特性；

L(ω)为系统校正后的所期望得到的对数幅频特性，称为期望对数幅频特性。

上式表明：一旦绘制出期望对数幅频特性L(ω)，将它与固有特性L0(ω)相减，即可获得校正装置的对数幅频特性Lc(ω)。在最小相位系统中，根据Lc(ω)的形状即可写出校正装置的传递函数，进而用适当的网络加以实现，这就是期望频率特性设计法的大致过程。

162 典型的期望对数频率特性

通常用到的典型期望对数频率特性有如下几种；

1621 二阶期望特性

校正后系统成为典型的二阶系统，又称为 Ⅰ 型二阶系统，其开环传递函数为

G(s) = Gc(s) G0(s) = K /s (Ts +1 ) = ωn2 / s ( s + 2§ωn ) = ( ωn/( 2§))/(s(1/(2§ωn) s+1))

式中，T = 1 / 2§ωn , 为时间常数；K = ωn/ 2§ ,为开环传递函数。

相应的频率特性表达式是

G ( jω ) = ( ωn/( 2§))/(jω(1/(2§ωn) jω+1))

按上式给出的二阶期望对数频率特性如图 1 – 10 所示，其截止频率

ωc = K =ωn/ 2§

转折频率ω2 = 1 / T = 2§ωn 。 两者之比为

ω2 /ωc = 4 § 2

工程上常以 § = 0707 时的二阶期望特性作为二阶工程最佳特性。此时，二阶系统的各项性能指标为

σ % = 43 %

ts = 4144 T

由渐进特性 ：ωc =ω2 / 2 , γ = 634° ;

由准确特性 ：ω2 = 0455ω2 ，γ = 6553°

图 1 – 10 二阶期望对数频率特性

1622 三阶期望特性

校正后系统成为三阶系统，又称为 Ⅱ型三阶系统，其开环传递函数为

G（s）= K ( T1 s + 1 ) / s2 (T2 s + 1 )

式中，1 / T1 <√K < 1 / T2 。相应的频率特性表达式为

G ( jω ) = K ( jT1ω + 1 ) / (jω)2 (jT2ω + 1 )

三阶期望对数幅频特性如图 1 – 11 所示。其中 ω 1 = 1 / T1 ，ω2 =1 / T2。

由于三阶期望特性为Ⅱ型系统，故稳态速度误差系数Kv = ∞ ,而加速度误差系数Ka = K。

三阶期望特性的瞬态性能和截止频率ωc 有关，又和中频段的宽度系数h有关。

h = ω2 /ω1 = T1 / T2

在h值一定的情况下，一般可按下列关系确定转折频率ω1和ω2：

ω1 = 2ωc /h+1 , ω2 = 2hωc /h+1

图 1 – 11 三阶期望对数幅频特性

1623 四阶期望特性

校正后系统成为三阶系统，又称为 Ⅱ型三阶系统，其开环传递函数为

G（s）= K ( T2 s + 1 ) / s (T1 s + 1 ) (T3 s + 1 ) (T4 s + 1 )

相应的频率特性表达式为

G（jω）= K (jT2 ω + 1 ) / jω(jT1 ω + 1 ) (jT3 ω + 1 ) (jT4 ω + 1 )

对数幅频特性如图 1 – 12 所示。

图 1 – 12 对数幅频特性

其中截止频率ωc 、中频段宽度h可由要求的调节时间ts 和最大起调量σ% 确定，即

ωc ≥ (6 ～ 8)/ts h ≥ σ+64 / σ- 16

近似确定ω2 和ω3 如下：

ω2 = 2ωc /h+1 , ω3 = 2hωc /h+1

四阶期望对数幅频特性由若干段组成，各段特性的斜率依次为-20dB/dec、-40dB/dec、-20dB/dec、-40dB/dec、-60dB/dec。若以-20dB/dec作为1个斜率单位，则-40dB/dec可用2表示，-60dB/dec可用3表示。于是，各段的斜率依次为1、2、1、2、3，这就是工程上常见的所谓1-2-1-2-3型系统。其中：

低频段：斜率为-20dB/dec，其高度由开环传递函数决定。

中频段：斜率为-20dB/dec，使系统具有较好的相对稳定性。

低中频连接段、中高频连接段和高频段：这些对系统的性能不会产生终于影响。因此，在绘制时，为使校正装置易于实现，应尽可能考虑校正前原系统的特性。也就是说，在绘制期望特性曲线时，应使这些频段尽可能等于或平行于原系统的相应频段，连转折频率也应尽可能取未校正系统相应的数值。

具体分析及计算过程

21 画信号流图

信号流图如图2 – 1 所示

G1 (s) = 4 ，G2 (s) = 10 ,

G3 (s) = 20 / (0025 s+1) , G4 (s) = 25 / s(01 s+1)

图2 – 1 小功率随动系统信号流图

22 求闭环传递函数

系统的开环传递函数为

G（s） = G1 (s) G2 (s) G3 (s) G4 (s)

= 200 / s (0025 s + 1 ) (01 s + 1)

= 200 / ( 00025 s3 + 0125 s2 + s )

则系统的闭环传递函数为

Ф = 200 / ( 00025 s3 + 0125 s2 + s + 200 )

求开环系统的截至频率

G（s） = 200 / s (0025 s + 1 ) (01 s + 1)

相应的频率特性表达式为

G（jω） = 200 / jω (0025 jω + 1 ) (01 jω + 1)

由|G（jω）|= 1 可得截止频率 ωc = 38 s-1

求相角裕度

将ωc = 38 s-1带入G（jω），可得

相角裕度γ= 180°+（0°- 90°- arctan1/095- arctan1/38）=-283°

求幅值裕度

令G（jω）的虚部等于0可得穿越频率ωx=20 s-1

此时，G（jω）=A(ω)=00833,则幅值裕度h=1/ A(ω)=12

设计串联校正装置

绘制未校正系统的对数幅频特性，程序如下

num=200;

den=[00025,0125,1,0];

sys=tf(num,den);

[mag,phase,w]=bode(num,den);

[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w);

margin(sys)

未校正系统的对数幅频特性如图2 – 2 所示，其低频特性已满足期望特性要求

图2 – 2 未校正系统的对数幅频特性

计算期望特性中频段的参数：

ωc ≥ (6 ～ 8)/ts = (6 ～ 8)/ 05 = 12 ～ 16（rad s-1）

h ≥ σ+64 / σ- 16 =25 + 64 / 25- 16 = 989

取ωc = 20 rad s-1 ，h = 10。

计算ω2 ，ω3 ：

ω2 = 2ωc /h+1=≅ 2ωc / h = 2×20 / 10 = 4

ω3 = 2hωc / h + 1 ≅ 2 × 20 = 40

由此可画出期望特性的中频段，如图2 – 3所示。

根据期望对数频率特性设计方法，可以画出期望对数幅频特性曲线，如图2 – 3。

图2 – 3 期望对数幅频特性曲线

将L ( ω )减去L 0( ω )（纵坐标相减）即得L c( ω )，L c( ω )即为系统中所串进的校正装置的对数幅频特性，如图2 – 4 所示。

图2 – 4 校正装置的对数幅频特性

根据其形状特点，可写出校正装置的传递函数为

Gc(s) = ( 025s + 1 ) ( 01s + 1 ) / ( 25s + 1 ) ( 001s + 1 )

要获得上式所描述的传递函数，既可用无源校正网络实现，又可用有源校正网络实现。

采用无源滞后------超前网络

无源滞后------超前网络如图2 – 5

图2 – 5 无源滞后------超前网络

其传递函数Gc（s）=(( T1 s + 1 ) ( T2 s + 1 ))/(( T1 s / β + 1 ) ( βT2s + 1 ))

比较上式与校正装置的传递函数可得

T2 s = R2 C2 = 025 , βT2 = 25

T1 s = R1 C1 = 01 , T1 / β = 001

如选C1 =033μF，C2=5μF，则可算得

R1=01/033×10-6=3000kΩ

R2=025/5×10-6=50 kΩ

系统校正后的结构图如图2 – 6 所示

图2 – 6 系统校正后的结构图

采用有源校正网络

由于运算放大器组成的有源校正网络同时兼有校正和放大作用，故图2 – 7 中的电压放大和串联校正两个环节可以合并，且由单一的有源网络实现。如图2 – 7 所示的网络中，当R5≫R3时，导出的传递函数为

G ( s ) = - Z2 ( Z2 + Z4 ) / Z1 Z4 )

式中，

Z 1 = R1 ；Z2 = R 5 + R 2 / R 2 C 1 s + R2

Z 3 = R3 ；Z4 = R 4 + 1/ C 2 s

再经一级倒相后，网络的传递函数可表示成

G(s)=(R2+R5)/R1 (R2R5/(R2+R5) C1s+1)/(R2C1s+1) ((R3+R4)C2s+1)/(R4C2s+1)

图2 – 7 有源校正网络

电压放大与校正环节合并后的传递函数为

10 Gc（s）=10×( 025s + 1 ) ( 01s + 1 ) / ( 25s + 1 ) ( 001s + 1 )

比较以上两式，并选C1=10μF, C2=20μF，则可求得校正网络的参数如下：

R 2 C 1=25，故R 2=250kΩ

R 4 C 2=001，故R 4=500kΩ

（R 3+ R 4）C2=01, 故R 3=45kΩ

R2R5/(R2+R5) C1= 025，故R 5=28kΩ

(R2+R5)/R1=10，故R 1=28kΩ

取R 0=R 1=28kΩ。则系统校正后的结构图如图2 – 8 所示。

图2 – 8 系统校正后的结构图

3绘制校正前后系统的bode图

31 绘制未校正系统的对数幅频特性

未校正系统的对数幅频特性如图2 – 2。程序如下

num=200;

den=[00025,0125,1,0];

sys=tf(num,den);

[mag,phase,w]=bode(num,den);

[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w);

margin(sys)

32 绘制校正系统的对数幅频特性

校正系统的对数幅频特性，如图2 – 3 。程序如下

num=[0025,035,1];

den=[0025,251,1];

sys=tf(num,den);

[mag,phase,w]=bode(num,den);

[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w);

margin(sys)

33 绘制校正后系统的对数幅频特性

校正后系统的对数幅频特性如图2 – 4 。程序如下：

num=[50,200];

den=[0000625,008775,2535,1,0];

sys=tf(num,den);

[mag,phase,w]=bode(num,den);

[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w);

margin(sys)

总结

课程设计不仅是对前面所学知识的一种检验，而且也是对自己能力的一种提高。通过这次课程设计使我明白了自己原来知识还比较欠缺。自己要学习的东西还太多，以前老是觉得自己什么东西都会，什么东西都懂，有点眼高手低。通过这次课程设计，我才明白学习是一个长期积累的过程，在以后的工作、生活中都应该不断的学习，努力提高自己知识和综合素质。

在设计过程中，我通过查阅大量有关资料，与同学交流经验和自学，并向老师请教等方式，使自己学到了不少知识，也经历了不少艰辛，但收获同样巨大。在整个设计中我懂得了许多东西，也培养了我独立工作的能力，树立了对自己工作能力的信心，相信会对今后的学习工作生活有非常重要的影响。而且大大提高了动手的能力，使我充分体会到了在创造过程中探索的艰难和成功时的喜悦。虽然这个设计做的也不太好，但是在设计过程中所学到的东西是这次课程设计的最大收获和财富，使我终身受益。

自动控制理论里的一型系统和二型系统是系统开环传递函数的极点在坐标原点处的个数即为系统的型，一型系统和二型系统分别有一个和两个。

1、一型系统和二型系统开环传递函数可表示为：

G(s)H(s)=          (t1S+1)(t2S+1)；

----------------------；

S(t1S+1)(t2S+1) ；

或者

G(s)H(s)=          (t1S+1)(t2S+1)；

----------------------；

SS(t1S+1)(t2S+1)；

2、目前普通高等院校“自动控制理论(原理)”教学学时大致有三种，48学时、64学时和80学时。自动控制理论（原理）涉及专业比较多，教学内容以经典控制理论为主，控制对象依据专业而不同。

3、本书主要适用专业为： 电气工程及其自动化，机械设计及其自动化，电子信息工程。部分内容(例如控制对象方面的例题)稍加修改，也可以适应其他如建筑环境与能源应用工程专业等。

4、本教材是与上述的教学学时和专业相配套的教学参考书(80学时及以上的还需要略微补充一点内容)，同时也可作为学生自学教材。

扩展资料：

自动控制理论系统分类：

按控制原理的不同，自动控制系统分为开环控制系统和闭环控制系统，开环控制系统。

自动控制理论系统解析：

1、在开环控制系统中，系统输出只受输入的控制，控制精度和抑制干扰的特性都比较差。开环控制系统中，基于按时序进行逻辑控制的称为顺序控制系统。

2、由顺序控制装置、检测元件、执行机构和被控工业对象所组成。主要应用于机械、化工、物料装卸运输等过程的控制以及机械手和生产自动线。

3、闭环控制系统是建立在反馈原理基础之上的，利用输出量同期望值的偏差对系统进行控制，可获得比较好的控制性能。闭环控制系统又称反馈控制系统。

4、按给定信号分类，自动控制系统可分为恒值控制系统、随动控制系统和程序控制系统。

5、恒值控制系统，给定值不变，要求系统输出量以一定的精度接近给定希望值的系统。如生产过程中的温度、压力、流量、液位高度、电动机转速等自动控制系统属于恒值系统。

6、随动控制系统，给定值按未知时间函数变化，要求输出跟随给定值的变化。如跟随卫星的雷达天线系统。

7、程序控制系统，给定值按一定时间函数变化。如程控机床。

-自动控制系统