一、背景
二、提出问题
三、解决问题
四、应用——泰勒级数
- ※ 函数的幂级数展开
- 参考文献
一、背景
对于一些复杂的函数，通常会找简单的函数做近似，而多项式函数就是常用的一种简单函数。
比如当
∣
x
∣
|x|
∣x∣ 很小时，有以下近似：
e
x
≈
x
+
1
e^x\approx x+1
ex≈x+1
l
n
(
x
+
1
)
≈
x
ln(x+1)\approx x
ln(x+1)≈x这两个复杂函数都用了一次多项式来近似，显然有：
e
x
∣
x
=
0
=
(
x
+
1
)
∣
x
=
0
(
e
x
)
′
∣
x
=
0
=
(
x
+
1
)
′
∣
x
=
0
e^x|_{x=0}=(x+1)|_{x=0} \ \ \ \ \ \ \ \ (e^x)'|_{x=0}=(x+1)'|_{x=0}
ex∣x=0=(x+1)∣x=0 (ex)′∣x=0=(x+1)′∣x=0
l
n
(
x
+
1
)
∣
x
=
0
=
x
∣
x
=
0
[
l
n
(
x
+
1
)
]
′
∣
x
=
0
=
(
x
)
′
∣
x
=
0
ln(x+1)|_{x=0}=x|_{x=0} \ \ \ \ \ \ \ \ [ln(x+1)]'|_{x=0}=(x)'|_{x=0}
ln(x+1)∣x=0=x∣x=0 [ln(x+1)]′∣x=0=(x)′∣x=0但这些近似精确性不高，所产生的误差是关于
x
x
x的高阶无穷小。
因此为了更加精确，可以用更高阶的多项式来表示。
二、提出问题
设 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 有 n n n 阶导数，
试找出一个关于
(
x
−
x
0
)
(x-x_0)
(x−x0) 的
n
n
n 次多项式
P
n
P_n
Pn 来近似表达
f
(
x
)
f(x)
f(x)。
P
n
(
x
)
=
a
0
+
a
1
(
x
−
x
0
)
+
a
2
(
x
−
x
0
)
2
+
…
…
+
a
n
(
x
−
x
0
)
n
P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+……+a_n(x-x_0)^n
Pn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+……+an(x−x0)n要求：使
P
n
−
f
(
x
)
P_n-f(x)
Pn−f(x) 为
x
→
x
0
x \rightarrow x_0
x→x0 时的比
(
x
−
x
0
)
n
(x-x_0)^n
(x−x0)n 高阶的无穷小。
三、解决问题
设有以下等式成立：
P
n
(
x
0
)
=
f
(
x
0
)
P_n(x_0)=f(x_0)
Pn(x0)=f(x0)
P
n
′
(
x
0
)
=
f
′
(
x
0
)
P_n'(x_0)=f'(x_0)
Pn′(x0)=f′(x0)
P
n
′
′
(
x
0
)
=
f
′
′
(
x
0
)
P_n''(x_0)=f''(x_0)
Pn′′(x0)=f′′(x0)
…
…
……
……
P
n
(
n
)
(
x
0
)
=
f
(
n
)
(
x
0
)
P_n^{\left( n \right)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)
Pn(n)(x0)=f(n)(x0)则可以通过对
P
n
P_n
Pn 求各阶导数来用
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的各阶导数来表示
P
n
P_n
Pn 的各项系数：
P n ( x ) = a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + … … + a n ( x − x 0 ) n P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+……+a_n(x-x_0)^n Pn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+……+an(x−x0)n
P
n
(
x
0
)
=
a
0
=
f
(
x
0
)
P_n(x_0)=a_0=f(x_0)
Pn(x0)=a0=f(x0)
P
n
′
(
x
0
)
=
1
⋅
a
1
=
f
′
(
x
0
)
P_n'(x_0)=1\cdot a_1=f'(x_0)
Pn′(x0)=1⋅a1=f′(x0)
P
n
′
′
(
x
0
)
=
2
⋅
1
⋅
a
2
=
f
′
′
(
x
0
)
P_n''(x_0)=2\cdot1\cdot a_2=f''(x_0)
Pn′′(x0)=2⋅1⋅a2=f′′(x0)
P
n
(
3
)
(
x
0
)
=
3
⋅
2
⋅
1
⋅
a
2
=
f
′
′
(
x
0
)
P_n^{(3)}(x_0)=3\cdot2\cdot1\cdot a_2=f''(x_0)
Pn(3)(x0)=3⋅2⋅1⋅a2=f′′(x0)
…
…
……
……
P
n
(
n
)
(
x
0
)
=
n
!
a
n
=
f
(
n
)
(
x
0
)
P_n^{(n)}(x_0)=n!a_n=f^{(n)}(x_0)
Pn(n)(x0)=n!an=f(n)(x0)
则有：
a
0
=
f
(
x
0
)
a_0=f(x_0)
a0=f(x0)
a
1
=
f
′
(
x
0
)
a_1=f'(x_0)
a1=f′(x0)
a
2
=
1
2
!
f
′
′
(
x
0
)
a_2=\frac{1}{2!}f''(x_0)
a2=2!1f′′(x0)
…
…
……
……
a
n
=
1
n
!
f
(
n
)
(
x
0
)
a_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)
an=n!1f(n)(x0)将这些系数代入多项式
P
n
P_n
Pn 中得：
问题来了：这个多项式是否是我们要寻找的多项式呢？
这里正好有两个定理可以表明上面的 P n ( x ) P_n(x) Pn(x) 就是我们要找的近似多项式：
泰勒中值定理1：
如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处有 n n n 阶导数，那么存在 x 0 x_0 x0 的一个邻域，对于该邻域内的任一 x x x，有以下等式成立：
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + … … + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x) =f\left( x_0 \right) +f'\left( x_0 \right) \left( x-x_0 \right) +\frac{f''\left( x_0 \right)}{2!}\left( x-x_0 \right) ^2+……+\frac{f^{\left( n \right)}\left( x_0 \right)}{n!}\left( x-x_0 \right) ^n+R_n(x) f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+……+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)
其中， R n ( x ) = o ( ( x − x 0 ) n ) R_n(x)=o(\ (x-x_0)^n) Rn(x)=o( (x−x0)n)
泰勒中值定理2：
如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 的某个邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0) 内具有 n + 1 n+1 n+1 阶导数，那么对任一 x ∈ U ( x 0 ) x\in U(x_0) x∈U(x0)，有以下等式成立：
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + … … + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x) =f\left( x_0 \right) +f'\left( x_0 \right) \left( x-x_0 \right) +\frac{f''\left( x_0 \right)}{2!}\left( x-x_0 \right) ^2+……+\frac{f^{\left( n \right)}\left( x_0 \right)}{n!}\left( x-x_0 \right) ^n+R_n(x) f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+……+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)
其中， R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 R_n\left( x \right) =\frac{f^{\left( n+1 \right)}\left( \xi \right)}{\left( n+1 \right) !}\left( x-x_0 \right) ^{n+1} Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1， ξ \xi ξ 为 x 0 x_0 x0 和 x x x 之间的某个值。
则公式
称为函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处的
n
n
n 次泰勒多项式。
四、应用——泰勒级数
若函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 处任意阶可导，则称幂级数
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
\sum_{n=0}^{\textit{∞ }}{\frac{f^{\left( n \right)}\left( x_0 \right)}{n!}\left( x-x_0 \right) ^n}
n=0∑∞ n!f(n)(x0)(x−x0)n为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 处的泰勒级数。
特别的，
x
0
=
0
x_0=0
x0=0 处的泰勒级数称为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的麦克劳林级数。
注意：这里只是单纯定义了泰勒级数的概念，没有说 f ( x ) f(x) f(x) 一定可以展开为泰勒级数！
※ 函数的幂级数展开设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 ( x 0 − R , x 0 + R ) (x_0-R, x_0+R) (x0−R,x0+R) 上有定义，若：
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n f\left( x \right) =\sum_{n=0}^{\textit{∞ }}{a_n\left( x-x_0 \right) ^n} f(x)=n=0∑∞ an(x−x0)n对任意的 x ∈ ( x 0 − R , x 0 + R ) x\in (x_0-R, x_0+R) x∈(x0−R,x0+R) 都成立，则称函数
f ( x ) f(x) f(x) 在区间 ( x 0 − R , x 0 + R ) (x_0-R, x_0+R) (x0−R,x0+R) 上能展开为 x − x 0 x-x_0 x−x0 的幂级数。
设
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
x
0
x=x_0
x=x0 的某邻域内任意阶可导，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在该邻域内能展开为泰勒级数
⇔
\Leftrightarrow
⇔
lim
n
→
∞
R
n
(
x
)
=
lim
n
→
∞
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
x
0
)
n
+
1
=
0
\underset{n\rightarrow \textit{∞ }}{\lim}R_n\left( x \right) =\underset{n\rightarrow \textit{∞ }}{\lim}\frac{f^{\left( n+1 \right)}\left( \xi \right)}{\left( n+1 \right) !}\left( x-x_0 \right) ^{n+1}=0
n→∞ limRn(x)=n→∞ lim(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1=0
几个常用的泰勒展开式 ( x 0 = 0 ) (x_0=0) (x0=0)：
| f(x) | 展开式 | 求和式 | 可以展开的范围 |
|---|---|---|---|
| 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1 | 1 + x + x 2 + … … 1+x+x^2+…… 1+x+x2+…… | ∑ n = 0 ∞ x n \sum_{n=0}^{\textit{∞ }}{x^n} ∑n=0∞ xn |
−
1
<
x
<
1
-1 |
| 1 1 + x \frac{1}{1+x} 1+x1 | 1 − x + x 2 + … … 1-x+x^2+…… 1−x+x2+…… | ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n \sum_{n=0}^{\textit{∞ }}{(-1)^nx^n} ∑n=0∞ (−1)nxn |
−
1
<
x
<
1
-1 |
| e x e^x ex | 1 + x + 1 2 ! x 2 + … … 1+x+\frac{1}{2!}x^2+…… 1+x+2!1x2+…… | ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n \sum_{n=0}^{∞}{\frac{1}{n!}}x^n ∑n=0∞n!1xn |
−
∞
<
x
<
+
∞
-∞ |
| s i n x sinx sinx | x − 1 3 ! x 3 + … … x-\frac{1}{3!}x^3+…… x−3!1x3+…… | ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 \sum_{n=0}^{∞}{(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}} ∑n=0∞(−1)n(2n+1)!1x2n+1 |
−
∞
<
x
<
+
∞
-∞ |
| c o s x cosx cosx | 1 − 1 2 ! x 2 + … … 1-\frac{1}{2!}x^2+…… 1−2!1x2+…… | ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 1 ( 2 n ) ! x 2 n \sum_{n=0}^{∞}{(-1)^n\frac{1}{(2n)!}x^{2n}} ∑n=0∞(−1)n(2n)!1x2n |
−
∞
<
x
<
+
∞
-∞ |
| l n ( 1 + x ) {ln(1+x)} ln(1+x) | x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + … … x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+…… x−21x2+31x3+…… | ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 1 n x n \sum_{n=1}^{∞}{(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^n} ∑n=1∞(−1)n−1n1xn |
−
1
<
x
≤
1
-1 |
【1】 《高等数学》第7版-同济大学出版社
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