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堆实现，堆排序和TopK问题

code • 2022-4-9 • C • 阅读 49

堆实现，堆排序和TopK问题,第1张

文章目录
    • @[toc]
      • 一.二叉树的存储结构
        • 1.顺序存储
        • 2.链式存储

      • 二、堆的概念和结构


      • 三、堆的实现

        • 堆的头文件

      • 四、测试堆和二叉树

        • 堆的实现
        • 堆的应用
      • image-20220408150923880
一.二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种是链式结构

1.顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般只适用于完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间上的浪费。


而现实中使用中只有堆才使用数组来存储。


二叉树的顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一棵二叉树。


顺序结构适用于完全二叉树

2.链式存储

二叉树的链式存储结构：用链来表示一颗二叉树，即用链表来指示元素的逻辑关系。


链式结构也包括二叉链和三叉链。


对于二叉链：链表的每个结点包含三个部分，数据域和左右指针域。


三叉链：链表每个结点包含数据域，左右指针域，父结点指针域

typedef int BTDataType;
//二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode* left;
    struct BinaryTreeNode* right;
    BTDataType data;
}
//三叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode*  parent;
    struct BinaryTreeNode* left;
    struct BinaryTreeNode*  right;
    BTDataType data;
}
//多叉链，使用指针数组的方式存储
//如果知道树的度
#define N 5
struct TreeNode
{
    int data;
    //利用指针数组存储子节点的指针
    struct TreeNode*subs[N];
};
//不知道树的度
struct TreeNode
{
    int data;
    //顺序表存孩子的指针
    SeqList _s1;
    vector<struct TreeNode *> _subs;
}
//孩子兄弟表示法
typedef int DataType;
struct TreeNode
{
    struct TreeNode*firstchild;
    struct TreeNode* pnextbrother;
    DataType data;
}


二、堆的概念和结构

堆的元素集合所有的元素按照完全二叉树的顺序方式存储。


堆可以分为大堆和小堆。


堆的性质：

  • 堆中某个节点的值总是不大于或不下于其父节点的值；
  • 堆总是一棵完全二叉树

大堆：树中父亲都大于等于孩子

小堆：树中父亲都小于等于孩子

堆解决的问题：

  • 堆排序
  • topK问题



三、堆的实现 堆的头文件 

//防止头文件被重复包含
#pragma once
#include
#include
#include
#include

typedef int HPDataType;
//顺序结构实现堆
typedef struct Heap
{
    HPDataType* a;
    //当前存储数
    size_t size;
    //最大容量
    size_t capacity;
}HP;
void swap(HPDataType*a,HPDataType*b);
//初始化堆
void HeapInit(HP*php);
//摧毁堆
void HeapDestroy(HP*php);
//打印堆元素
void HeapPrint(HP*php);
//插入数据
void HeapPush(HP*php, HPDataType x;
//删除栈顶数据
void HeapPop(HP*php);
//判断为空
bool HeapEmpty(HP*php);
size_t HeapSize(HP*php);
//返回堆顶数据
HPDateType HeapTop(HP*php);
void AdjustUp(HPDataType* a, size_t child);
void AdjustDown(HPDataType* a, size_t size, size_t root);

接口实现

void HeapInit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

void HeapDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

void Swap(HPDataType* pa, HPDataType* pb)
{
	HPDataType tmp = *pa;
	*pa = *pb;
	*pb = tmp;
}

void HeapPrint(HP* php)
{
	assert(php);
	for (size_t i = 0; i < (php->size); ++i)
	{
		printf("%d ", php->a[i]);
	}
	printf("\n");
}

void AdjustUp(HPDataType* a, size_t child)
{
	size_t parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] < a[parent])
             //如果要建立大堆
			//if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	if (php->size == php->capacity)
	{
		size_t newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			printf("realloc failed\n");
			exit(-1);
		}

		php->a = tmp;
		php->capacity = newCapacity;
	}

	php->a[php->size] = x;
	++php->size;

	// 向上调整，控制保持是一个小堆
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

void AdjustDown(HPDataType* a, size_t size, size_t root)
{
	size_t parent = root;
	size_t child = parent * 2 + 1;
	while (child < size)
	{
		// 1、选出左右孩子中小的那个
		if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])
            //建立大堆
            //if(child+1a[child])
		{
			++child;
		}

		// 2、如果孩子小于父亲，则交换，并继续往下调整
		if (a[child] < a[parent])
         //建立大堆
         //if(a[child]>a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

// 删除堆顶的数据。

(最小/最大)
void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	--php->size;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

int HeapSize(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size;
}

HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	return php->a[0];
}


四、测试堆和二叉树 

#include"Heap.h"
void TestHeap()
{
	HP hp;
	HeapInit(&hp);
	HeapPush(&hp, 1);
	HeapPush(&hp, 5);
	HeapPush(&hp, 0);
	HeapPush(&hp, 8);
	HeapPush(&hp, 3);
	HeapPush(&hp, 9);
	HeapPrint(&hp);

	HeapPop(&hp);
	HeapPrint(&hp);

	HeapDestroy(&hp);
}
//堆排序
void HeapSort(int*a,int size)
{
    //创建一个堆
    HP hp;
    HeapInit(&hp);
    //把数据存放在堆中
    for(int i=0;i<size;i++)
    {
        HeapPush(&hp,a[i]);
    }
    size_t j=0;
    while(!HeapEmpty(&hp))
    {
        //返回堆顶
        a[j]=HeapTop(&hp);
        j++;
        HeapPop(&hp);
    }
    HeapStory(&hp);
    
}
int main()
{
    int a[]={4,2,7,8,5,1,0,6};
    //进行堆排序
    HeapSort(a,sizeof(a)/sizeof(int);i++);
    for(int i=0;i<sizeof(a)/sizeof(int);i++)
    {
        printf("%d ",a[i]);
    }
    printf("\n");
    return 0;
}
堆的实现

我们现在给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。


我们可以通过向下调整法从根开始调整为一个小堆。


但是向下调整法的一个前提是：左右子树必须是一个堆。


int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。


根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。


int a[]={1,5,3,8,7,6};


//元素数组建堆
//通过向上调整法建立堆
void HeapSort(int *a,int size)
{
    assert(a);
    assert(size==1);
    for(size_t j=1;j<size;j++)
    {
        AdjustUp(a,j);
    }
}
//使用向下调整建堆
//向下调整的前提是左子树和右子树必须是堆
//从最后一个节点的父亲开始调
void HeapSort(int *a,int size)
{
    for(int i=(n-1-1)/2;i>=0;i--)
    {
        AdjustDown(a,n,i);
    }
}

建堆的时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树在证明和计算时间复杂度

向上调整法的时间复杂度

第一层调整0次，第二层调整1次…第h层调整h-1次…

向下调整法的时间复杂度

第一层调整h-1次，第二层调整h-2次…第h层调整0次

作业

堆的应用

堆排序

  • 升序：建立大堆

  • //原数组升序
//建大堆
for(int i=(n-1-1)/2;i>=0;i++)
{
    AdjustDown(a,n,i);
}
int end=n-1;
while(end>0)
{
    swap(&a[end],a[0]);
    AdjustDown(a,end,0);
    end--;
}

  • 降序：建立小堆

TopK问题

海量数据处理的解决方法：用前k个数建立一个k个数的小堆，然后剩下的N-K依次遍历，如果比堆顶的数据大，就替换它进入堆，最后的小堆里面的数就是最大的K个数。


void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
    // 1. 建堆--用a中前k个元素建堆
    int* kmaxheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
    for (int i = 0;i < k;i++)
    {
        kmaxheap[i] = a[i];
    }
    //建立堆
    for (int i = (k - 1 - 1) / 2;i >= 0;i--)
    {
        AdjustDown(kmaxheap, k, i);
    }
    // 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换，不满则则替换
    for (int j = k;j < n;j++)
    {
        if (a[j] > kmaxheap[0])
        {
            kmaxheap[0] = a[j];
            //向下调整
            AdjustDown(kmaxheap, k, 0);
        }
    }

    for (int i = 0;i < k;i++)
    {
        printf("%d ", kmaxheap[i]);
    }
}
void TestTopk()
{
    int n = 10000;
    int* a = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
    srand(time(0));
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        a[i] = rand() % 1000000;
    }
    a[5] = 1000000 + 1;
    a[1231] = 1000000 + 2;
    a[531] = 1000000 + 3;
    a[5121] = 1000000 + 4;
    a[115] = 1000000 + 5;
    a[2335] = 1000000 + 6;
    a[9999] = 1000000 + 7;
    a[76] = 1000000 + 8;
    a[423] = 1000000 + 9;
    a[3144] = 1000000 + 10;
    PrintTopK(a, n, 10);
}

int main()
{
    TestTopk();
    return 0;
}

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原文地址: http://outofmemory.cn/langs/568937.html

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