[力扣题解] 122. 买卖股票的最佳时机 II DP动态规划

一、题目详情

原题链接：力扣121.买卖股票 II

给定一个数组 prices ，其中 prices[i] 表示股票第 i 天的价格。

在每一天，你可能会决定购买和/或出售股票。

你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。

你也可以购买它，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

示例1：

输入: prices = [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。

随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。

提示：

• 1 <= prices.length <= 3 * 10的4次

二、解题方法

1.法一：dp

考虑到「不能同时参与多笔交易」，因此每天交易结束后只可能存在手里有一支股票或者没有股票的状态。

定义状态 dp[i][0] 表示第 ii天交易完后手里没有股票的最大利润，dp[i][1] 表示第 i 天交易完后手里持有一支股票的最大利润（i 从 0 开始）。

有如下公式：

dp[i][0]=max{dp[i−1][0],dp[i−1][1]+prices[i]}

dp[i][1]=max{dp[i−1][1],dp[i−1][0]−prices[i]}

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][2];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
        }
        return dp[n - 1][0];
    }
}

复杂度分析：

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(n)

2.法二：dp+滚动数组 降低空间复杂度

注意到上面的状态转移方程中，每一天的状态只与前一天的状态有关，而与更早的状态都无关，因此我们不必存储这些无关的状态，只需要将dp[i−1][0] 和 dp[i−1][1] 存放在两个变量中，通过它们计算出dp[i][0] 和 dp[i][1] 并存回对应的变量，以便于第 i+1的状态转移即可。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int dp0 = 0, dp1 = -prices[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            int newDp0 = Math.max(dp0, dp1 + prices[i]);
            int newDp1 = Math.max(dp1, dp0 - prices[i]);
            dp0 = newDp0;
            dp1 = newDp1;
        }
        return dp0;
    }
}

复杂度分析：

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(1)

滚动数组思想：如何理解动态规划问题的优化措施“滚动数组”？ - 知乎

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