环境使用 Kaggle 里免费建立的 Notebook
教程使用李沐老师的 动手学深度学习 网站和 视频讲解
小技巧：当遇到函数看不懂的时候可以按 Shift+Tab 查看函数详解。
注：CNN 可视化网站：https://poloclub.github.io/cnn-explainer/
1.1 填充（padding）假设以下情景： 有时，在应用了连续的卷积之后，我们最终得到的输出远小于输入大小。这是由于卷积核的宽度和高度通常大于 1 1 1 所导致的。
比如，一个 240 × 240 240 \times 240 240×240 像素的图像，经过 10 10 10 层的 5 × 5 5 \times 5 5×5 卷积后，将减少到 200 × 200 200 \times 200 200×200 像素。如此一来，原始图像的边界丢失了许多有用信息。而填充是解决此问题最有效的方法。
在输入图像的边界填充元素（一般为
0
0
0）。
填充
p
h
p_h
ph 行和
p
w
p_w
pw 列，输出形状为：
(
n
h
−
k
h
+
p
h
+
1
)
×
(
n
w
−
k
w
+
p
w
+
1
)
(n_h-k_h+p_h+1)\times(n_w-k_w+p_w+1)
(nh−kh+ph+1)×(nw−kw+pw+1)
通常取 p h = k h − 1 p_h=k_h-1 ph=kh−1， p w = k w − 1 p_w=k_w-1 pw=kw−1，使输入图像形状经过与卷积核运算后输出形状保持一致。
- 当 k h k_h kh 为奇数：在上下两侧填充 p h / 2 p_h/2 ph/2
- 当 k h k_h kh 为偶数：在上侧填充 ⌈ p h / 2 ⌉ \left\lceil p_{h} / 2\right\rceil ⌈ph/2⌉，在下侧填充 ⌊ p h / 2 ⌋ \left\lfloor p_{h} / 2\right\rfloor ⌊ph/2⌋
注：卷积神经网络中卷积核的高度和宽度通常为奇数，例如1、3、5或7。 选择奇数的好处是，保持空间维度的同时，我们可以在顶部和底部填充相同数量的行，在左侧和右侧填充相同数量的列。
1.2 步幅（stride）有时，我们可能希望大幅降低图像的宽度和高度。例如，如果我们发现原始的输入分辨率十分冗余。步幅则可以在这类情况下提供帮助。
卷积窗口从输入张量的左上角开始，向下、向右滑动，默认情况下都是滑动的步幅是 1 1 1 个像素。
给定高度 s h s_h sh 和宽度 s w s_w sw 的步幅，输出形状是：
- ⌊ ( n h − k h + p h + s h ) / s h ⌋ × ⌊ ( n w − k w + p w + s w ) / s w ⌋ \lfloor(n_h-k_h+p_h+s_h)/s_h\rfloor \times \lfloor(n_w-k_w+p_w+s_w)/s_w\rfloor ⌊(nh−kh+ph+sh)/sh⌋×⌊(nw−kw+pw+sw)/sw⌋
如果 p h = k h − 1 p_h=k_h-1 ph=kh−1， p w = k w − 1 p_w=k_w-1 pw=kw−1
- ⌊ ( n h + s h − 1 ) / s h ⌋ × ⌊ ( n w + s w − 1 ) / s w ⌋ \left\lfloor\left(n_{h}+s_{h}-1\right) / s_{h}\right\rfloor \times\left\lfloor\left(n_{w}+s_{w}-1\right) / s_{w}\right\rfloor ⌊(nh+sh−1)/sh⌋×⌊(nw+sw−1)/sw⌋
如果输出高度和宽度可以被步幅整除
- ( n h / s h ) × ( n w / s w ) \left(n_{h} / s_{h}\right) \times\left(n_{w} / s_{w}\right) (nh/sh)×(nw/sw)
1.3 代码实现 1.3.1 填充填充和步幅是卷积层的超参数。
import torch
from torch import nn
# 为了方便起见，我们定义了一个计算卷积层的函数。
# 此函数初始化卷积层权重，并对输入和输出提高和缩减相应的维数
def comp_conv2d(conv2d, X):
# 这里的（1，1）表示批量大小和通道数都是1
X = X.reshape((1, 1) + X.shape)
Y = conv2d(X)
# 省略前两个维度：批量大小和通道
return Y.reshape(Y.shape[2:])
# 请注意，这里每边都填充了1行或1列，因此总共添加了2行或2列
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1)
X = torch.rand(size=(8, 8))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
用公式
(
n
h
−
k
h
+
p
h
+
1
)
×
(
n
w
−
k
w
+
p
w
+
1
)
(n_h-k_h+p_h+1)\times(n_w-k_w+p_w+1)
(nh−kh+ph+1)×(nw−kw+pw+1) 计算：
(
8
−
3
+
2
+
1
)
×
(
8
−
3
+
2
+
1
)
=
(
8
×
8
)
(8 - 3 + 2 + 1) \times (8 - 3 + 2 + 1) = (8 \times 8)
(8−3+2+1)×(8−3+2+1)=(8×8)
注：(1, 1) + (8, 8) = (1, 1, 8, 8)
# 卷积核为 5*3, padding 上下两侧为 2, 共 4, 左右两侧为 1, 共 2
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(5, 3), padding=(2, 1))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
用公式
(
n
h
−
k
h
+
p
h
+
1
)
×
(
n
w
−
k
w
+
p
w
+
1
)
(n_h-k_h+p_h+1)\times(n_w-k_w+p_w+1)
(nh−kh+ph+1)×(nw−kw+pw+1) 计算：
(
8
−
5
+
4
+
1
)
×
(
8
−
3
+
2
+
1
)
=
(
8
×
8
)
(8-5+4+1)\times(8-3+2+1)=(8\times8)
(8−5+4+1)×(8−3+2+1)=(8×8)
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1, stride=2)
comp_conv2d(conv2d, X).shape
用公式
⌊
(
n
h
−
k
h
+
p
h
+
s
h
)
/
s
h
⌋
×
⌊
(
n
w
−
k
w
+
p
w
+
s
w
)
/
s
w
⌋
\lfloor(n_h-k_h+p_h+s_h)/s_h\rfloor \times \lfloor(n_w-k_w+p_w+s_w)/s_w\rfloor
⌊(nh−kh+ph+sh)/sh⌋×⌊(nw−kw+pw+sw)/sw⌋ 计算：
(
⌊
(
8
−
3
+
2
+
2
)
/
2
⌋
)
×
(
⌊
(
8
−
3
+
2
+
2
)
/
2
⌋
)
=
(
4
×
4
)
(\lfloor(8-3+2+2)/2\rfloor) \times (\lfloor(8-3+2+2)/2\rfloor) = (4 \times 4)
(⌊(8−3+2+2)/2⌋)×(⌊(8−3+2+2)/2⌋)=(4×4)
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(3, 5), padding=(0, 1), stride=(3, 4))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
用公式
⌊
(
n
h
−
k
h
+
p
h
+
s
h
)
/
s
h
⌋
×
⌊
(
n
w
−
k
w
+
p
w
+
s
w
)
/
s
w
⌋
\lfloor(n_h-k_h+p_h+s_h)/s_h\rfloor \times \lfloor(n_w-k_w+p_w+s_w)/s_w\rfloor
⌊(nh−kh+ph+sh)/sh⌋×⌊(nw−kw+pw+sw)/sw⌋ 计算：
(
⌊
(
8
−
3
+
0
+
3
)
/
3
⌋
)
×
(
⌊
(
8
−
5
+
2
+
4
)
/
4
⌋
)
=
(
2
×
2
)
(\lfloor(8-3+0+3)/3\rfloor) \times (\lfloor(8-5+2+4)/4\rfloor) = (2 \times 2)
(⌊(8−3+0+3)/3⌋)×(⌊(8−5+2+4)/4⌋)=(2×2)
2. 多输入多输出通道 2.1 多输入通道默认情况下，填充为 0 0 0，步幅为 1 1 1。在实践中，我们很少使用不一致的步幅或填充，也就是说，我们通常设置 p h = p w p_h = p_w ph=pw 和 s h = s w s_h = s_w sh=sw。
每个 RGB 输入图像具有 3 × h × w 3\times h\times w 3×h×w 的形状。我们将这个大小为 3 3 3 的轴称为通道（channel）维度。
每个通道都有一个卷积核，结果是所有通道卷积结果的和：
- 输入 X X X： c i × n h × n w c_i \times n_h \times n_w ci×nh×nw
- 核 W W W： c i × k h × k w c_i \times k_h \times k_w ci×kh×kw
- 输出
Y
Y
Y：
m
h
×
m
w
m_h \times m_w
mh×mw
Y = ∑ i = 0 c i X i , : , : ★ W i , : , : Y=\sum^{c_i}_{i=0} X_{i,:,:} ★ W_{i,:,:} Y=i=0∑ciXi,:,:★Wi,:,:
注： ★ ★ ★ 表示卷积 *** 作。
无论有多少输入通道，到目前为止我们只用到单输出通道。
我们可以有多个三位卷积核，每个核生成一个输出通道。
- 输入 X X X： c i × n h × n w c_i \times n_h \times n_w ci×nh×nw
- 核 W W W： c o × c i × k h × k w c_o \times c_i \times k_h \times k_w co×ci×kh×kw
- 输出
Y
Y
Y：
c
o
×
m
h
×
m
w
c_o \times m_h \times m_w
co×mh×mw
Y i , : , : = ∑ i = 0 c i X ★ W i , : , : , : f o r i = 1 , . . . , c o Y_{i,:,:}=\sum^{c_i}_{i=0} X ★ W_{i,:,:,:} \space for \space i=1,..., c_o Yi,:,:=i=0∑ciX★Wi,:,:,: for i=1,...,co
c i c_i ci 为输入通道数， c o c_o co 为输出通道数
每个输出通道可以识别特定模式。
输入通道核识别并组合输入图像中的模式。
k
h
=
k
w
=
1
k_h = k_w = 1
kh=kw=1，经常包含在复杂深层网络的设计中。
它不识别空间模式，只是融合通道。
相当于输入形状为
n
h
n
w
×
c
i
n_hn_w \times c_i
nhnw×ci，权重为
c
o
×
c
i
c_o \times c_i
co×ci 的全连接层。
- 输入 X X X： c i × n h × n w c_i \times n_h \times n_w ci×nh×nw
- 核 W W W： c o × c i × k h × k w c_o \times c_i \times k_h \times k_w co×ci×kh×kw
- 偏差 B B B： c o × c i c_o \times c_i co×ci
- 输出
Y
Y
Y：
c
o
×
m
h
×
m
w
c_o \times m_h \times m_w
co×mh×mw
Y = X ★ W + B Y=X ★ W + B Y=X★W+B - 计算复杂度（浮点计算数 FLOP）
O
(
c
i
c
o
k
h
k
w
m
h
m
w
)
O(c_ic_ok_hk_wm_hm_w )
O(cicokhkwmhmw)
每个通道进行卷积运算，然后再把结果求和。
!pip install -U d2l
import torch
from d2l import torch as d2l
def corr2d_multi_in(X, K):
# 先遍历“X”和“K”的第0个维度（通道维度），再把它们加在一起
return sum(d2l.corr2d(x, k) for x, k in zip(X, K))
验证：
X = torch.tensor([[[0.0, 1.0, 2.0],
[3.0, 4.0, 5.0],
[6.0, 7.0, 8.0]],
[[1.0, 2.0, 3.0],
[4.0, 5.0, 6.0],
[7.0, 8.0, 9.0]]])
K = torch.tensor([[[0.0, 1.0],
[2.0, 3.0]],
[[1.0, 2.0],
[3.0, 4.0]]])
corr2d_multi_in(X, K)
计算多个通道的输出：
def corr2d_multi_in_out(X, K):
# 迭代“K”的第0个维度，每次都对输入“X”执行互相关运算。
# 最后将所有结果都叠加在一起
return torch.stack([corr2d_multi_in(X, k) for k in K], 0)
K = torch.stack((K, K + 1, K + 2), 0)
K.shape
torch.stack((K, K + 1, K + 2), 0) 意思是将 (K, K + 1, K + 2) 的结果在
0
0
0 这个维度上堆叠起来。
此时的
K
K
K：
验证：
corr2d_multi_in_out(X, K)
def corr2d_multi_in_out_1x1(X, K):
c_i, h, w = X.shape
c_o = K.shape[0]
X = X.reshape((c_i, h * w))
K = K.reshape((c_o, c_i))
# 全连接层中的矩阵乘法
Y = torch.matmul(K, X)
return Y.reshape((c_o, h, w))
验证：
X = torch.normal(0, 1, (3, 3, 3))
K = torch.normal(0, 1, (2, 3, 1, 1))
Y1 = corr2d_multi_in_out_1x1(X, K)
Y2 = corr2d_multi_in_out(X, K)
print(Y1, '\n',Y2)
assert float(torch.abs(Y1 - Y2).sum()) < 1e-6
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1, stride=2)
注：第一个参数是输入通道数，第二个参数是输出通道数。和李沐老师实现的代码有点区别。
当我们处理图像时，我们希望逐渐降低隐藏表示的空间分辨率、聚集信息，这样随着我们在神经网络中层叠的上升，每个神经元对其敏感的感受野（输入）就越大。
而我们的机器学习任务通常会跟全局图像的问题有关（例如，“图像是否包含一只猫呢？”），所以我们最后一层的神经元应该对整个输入的全局敏感。通过逐渐聚合信息，生成越来越粗糙的映射，最终实现学习全局表示的目标，同时将卷积图层的所有优势保留在中间层。
此外，当检测较底层的特征时（如边缘），我们通常希望这些特征保持某种程度上的平移不变性。例如，如果我们拍摄黑白之间轮廓清晰的图像 X X X，并将整个图像向右移动一个像素，即 Z [ i , j ] = X [ i , j + 1 ] Z[i, j] = X[i, j + 1] Z[i,j]=X[i,j+1]，则新图像 Z Z Z 的输出可能大不相同。而在现实中，随着拍摄角度的移动，任何物体几乎不可能发生在同一像素上。即使用三脚架拍摄一个静止的物体，由于快门的移动而引起的相机振动，可能会使所有物体左右移动一个像素（除了高端相机配备了特殊功能来解决这个问题）。
引入池化层的目的：
- 降低卷积层对位置的敏感性
- 降低对空间降采样表示的敏感性
池化窗口从输入张量的左上角开始，从左往右、从上往下的在输入张量内滑动。在汇聚窗口到达的每个位置，它计算该窗口中输入子张量的最大值或平均值。计算最大值或平均值是取决于使用了最大池化层还是平均池化层。
下图是最大池化：
- 池化层核卷积层类似，都具有填充和步幅
- 没有可学习的参数
- 在每个输入通道应用池化层以获得相应的输出通道
- 输出通道数=输入通道数
# !pip install -U d2l
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
p_h, p_w = pool_size
# 这里和卷积 *** 作类似
Y = torch.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1))
for i in range(Y.shape[0]):
for j in range(Y.shape[1]):
if mode == 'max':
Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].max()
elif mode == 'avg':
Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].mean()
return Y
pool_size 为窗口大小。
验证：
X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0],
[3.0, 4.0, 5.0],
[6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))
验证平均池化：
pool2d(X, (2, 2), 'avg')
X = torch.arange(16, dtype=torch.float32).reshape((1, 1, 4, 4))
X
设置最大池化窗口为
3
×
3
3 \times 3
3×3：
pool2d = nn.MaxPool2d(3)
pool2d(X)
注：Pytorch 默认情况下，步幅与池化窗口的大小相同：
设置填充和步幅：
pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
设定一个任意大小的矩形池化窗口，并设置填充和步幅的高和宽：
pool2d = nn.MaxPool2d((2, 3), stride=(2, 3), padding=(0, 1))
pool2d(X)
池化层在每个输入通道上单独运算：
X = torch.cat((X, X + 1), 1)
X
pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)
李沐老师的个人理解：
池化层两个主要作用：
- 对卷积的位置没那么敏感
- 减少计算量
一个方面，目前的方法是在卷积层设置一个步幅参数，淡化了池化的作用。另一个方面，一般都会对数据进行数据增强（偏移旋转等 *** 作），也是淡化了池化层的作用。
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