背包问题刨析（Python代码）

一、01背包问题 题目描述

有n个重量和价值分别为 w i w_i wi​， v i v_i vi​的物品。从这些物品中挑选出总重不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。

方法一：深度优先搜索

对于01背包问题，即每个物品有两种选择（选，不选）。那么我们可以依据此性质建立选与不选二叉树。代码如下：

class Solution:
    def zeronebag(self, n, W, w, v):
        def rec(i, j):
            if i == n:
                res = 0
            elif j < w[i]:
                res = rec(i+1, j)
            else:
                res = max(rec(i+1, j), rec(i+1, j-w[i])+v[i])
            return res
        return rec(0, W)
if __name__=='__main__':
    a = Solution().zeronebag(4, 5, [2, 1, 3, 2], [3, 2, 4, 2])
    print(a)

这种方法的搜索深度是n，而且每一层的搜索都需要两次分支，最坏就需要 O（ 2 n 2^n 2n） 的时间，当n比较大时就没办法解决。从上述图中可以发现橙色块rec以（3， 2）为参数调用了两次。参数相同返回结果相同，因此我们可以把第一次搜索的结果记录下来，这样下次搜索直接在记录中查找即可，这样就有如下优化方法。

方法二：记忆化搜索

创建dp数组，用于存储已经搜索过的rec值。则有如下代码：

class Solution:
    def zeronebag(self, n, W, w, v):
        def rec(i, j):
            if dp[i][j] > 0:
                return dp[i][j]
            if i == n:
                res = 0
            elif j < w[i]:
                res = rec(i+1, j)
            else:
                res = max(rec(i+1, j), rec(i+1, j-w[i])+v[i])
            dp[i][j] = res
            return res
        dp = [[0] * (w+1) for _ in range(n+1)]
        return rec(0, W)

if __name__=='__main__':
    a = Solution().zeronebag(4, 5, [2, 1, 3, 2], [3, 2, 4, 2])
    print(a)

上述方法参数的组合为nW种，而函数内只调用2次递归，所以只需要 O(nW) 的复杂度就能解决这个问题。

方法三：动态规划（DP）

事实上，观察上述记忆化数组，记 dp[i][j] 为根据rec的定义，从第i个物品开始挑选总重小于j时，总价值的最大值，有如下递推式：

如上所示，不用写递归函数，直接利用递推式将各项的值计算出来，简单地用二重循环也可以解决这一问题。代码如下：

class Solution:
    def zeronebag(self, n, W, w, v):

        dp = [[0] * (W+1) for _ in range(n+1)]
        for i in range(n-1, -1, -1):
            for j in range(W+1):
                if j < w[i]:
                    dp[i][j] = dp[i+1][j]
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i+1][j-w[i]]+v[i])
        return dp[0][W]
if __name__=='__main__':
    a = Solution().zeronebag(4, 5, [2, 1, 3, 2], [3, 2, 4, 2])
    print(a)

这个算法的复杂度与前面相同，也是O(nW),但是简洁很多。
上述i的循环是逆向的，可以改变递推式，从0开始，代码如下。

class Solution:
    def zeronebag(self, n, W, w, v):

        dp = [[0] * (W+1) for _ in range(n+1)]
        for i in range(n):
            for j in range(W+1):
                if j < w[i]:
                    dp[i+1][j] = dp[i][j]
                else:
                    dp[i+1][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-w[i]]+v[i])
        return dp[n][W]
if __name__=='__main__':
    a = Solution().zeronebag(4, 5, [2, 1, 3, 2], [3, 2, 4, 2])
    print(a)

事实上，我们可以只创建一维数组存储 j 时的最大价值和。代码如下：

class Solution:
    def zeronebag(self, n, W, w, v):
        dp = [0] * (W+1)
        for i in range(n):
            for j in range(W, w[i]-1, -1):
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i])
        return dp[W]
if __name__=='__main__':
    a = Solution().zeronebag(4, 5, [2, 1, 3, 2], [3, 2, 4, 2])
    print(a)

二、完全背包问题

完全背包问题是不限制每个物品挑选的数量。类似找零钱问题，找零钱问题刨析。代码如下：

class Solution:
    def fullbag(self, n, W, w, v):
        dp = [0] * (W+1)
        for i in range(n):
            for j in range(w[i], W+1):
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i])
        return dp[W]
if __name__=='__main__':
    a = Solution().fullbag(4, 5, [2, 1, 3, 2], [3, 2, 4, 2])
    print(a)

--------持续更新中--------

例题

某次漫展，已知有n个打卡点，每个打卡点的活动需要 m_i 分钟完成，完成后获得奖励点 r_i，已经打卡过的点不能再去。

需要在规定 m 分钟内完成，尽可能多的收获奖励点，求获得最多的奖励点数。

输入描述:
第一行两个整数，打卡点的数量 n 和限制时间 m

第 2 到 1 + n 行，每行两个整数 m_i，r_i

数字以空格分割，其中 0 < n <= 100，1 <= m <= 120，1 <= m_i <= 10，1 <= r_i <= 100

输出描述:
整数, 最大的奖励点数

输入例子1:
4 6
2 4
2 35
1 43
2 10

输出例子1:
88