偏导数——含有多个变量

定义

我们看一下式 (4.6) 表示的函数。虽然它只是一个计算参数的平方和的简单函数，但是请注意和上例不同的是，这里有两个变量。

def function_2(x):
    return x[0] ** 2 + x[1] ** 2
    # 或者return np.sum(x**2)

这里，我们假定向参数输入了一个 NumPy 数组。函数的内部实现比较简单，先计算 NumPy 数组中各个元素的平方，再求它们的和（np.sum(x**2) 也可以实现同样的处理）。我们来画一下这个函数的图像。结果如图 4-8 所示，是一个三维图像。

现在我们来求式（4.6）的导数。这里需要注意的是，式（4.6）有两个变量，所以有必要区分对哪个变量求导数，即对 x₀ 和 x₁ 两个变量中的哪一个求导数。另外，我们把这里讨论的有多个变量的函数的导数称为偏导数 。用数学式表示的话，可以写成 ∂ f ∂ x 0 、 ∂ f ∂ x 1 \frac{\partial f}{\partial x_0} 、\frac{\partial f}{\partial x_1} ∂x0​∂f​、∂x1​∂f​

怎么求偏导数呢？我们先试着解一下下面两个关于偏导数的问题。

问题 1 ：求 x_0=3,x_1=4 时，关于 x_0 的偏导数 ∂ f ∂ x 0 \frac{\partial f}{\partial x_0} ∂x0​∂f​

import numpy as np


def numerical_diff(f, x):
    h = 1e-4
    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)


def function(x):
    return x[0] ** 2 + x[1] ** 2
    # return np.sum(x**2)


def function_tmp1(x):
    return x ** 2 + 4 ** 2


if __name__ == '__main__':
    print(numerical_diff(function_tmp1, 3))

运行结果：

6.00000000000378

问题 2 ：求 x_0=3,x_1=4 时，关于 x_1 的偏导数 ∂ f ∂ x 1 \frac{\partial f}{\partial x_1} ∂x1​∂f​

import numpy as np


def numerical_diff(f, x):
    h = 1e-4
    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)


def function(x):
    return x[0] ** 2 + x[1] ** 2
    # return np.sum(x**2)


def function_tmp2(x):
    return 3 ** 2 + x ** 2


if __name__ == '__main__':
    print(numerical_diff(function_tmp2, 4))

运行结果：

7.999999999999119

在这些问题中，我们定义了一个只有一个变量的函数，并对这个函数进行了求导。例如，问题 1 中，我们定义了一个固定 x₁ = 4 的新函数，然后对只有变量 x₀ 的函数应用了求数值微分的函数。从上面的计算结果可知，问题 1 的答案是 6.00000000000378，问题 2 的答案是 7.999999999999119，和解析解的导数基本一致。

像这样，偏导数和单变量的导数一样，都是求某个地方的斜率。不过，偏导数需要将多个变量中的某一个变量定为目标变量，并将其他变量固定为某个值。在上例的代码中，为了将目标变量以外的变量固定到某些特定的值上，我们定义了新函数。然后，对新定义的函数应用了之前的求数值微分的函数，得到偏导数。