复变函数提问

Arg(z)表示复数z的幅角，它有无穷多个值，任两个值的差是2π的整数倍。arg(z)则表示复数z幅角的主值，复数幅角主值的范围的规定各种书上不尽一致，有的规定是[0，2π）。必须指出，只要是复数z的某一个幅角值（即使不是主值）也可以用arg(z)表示。arg(z)与Arg(z)之间的关系是：Arg(z)=arg(z)+2kπ（k为整数）。 z=x+iy 复数的指数函数定义为e^z=e^x(cosy+isiny），|e^z|它是求复数的模的问题，可以证明出来的是|e^z|=|e^(x+iy)|=|e^x(cosy+isiny)|=|e^x||cosy+isiny|=e^x1=e^x。其中乘号右边复数的模|cosy+isiny|=√(cosy^2+siny^2)=1

令z=e^iθ,则dθ=dz/iz,当θ从0变化到2π时,z绕单位圆周一圈

∴原式=∫(|z|=1) (1+z+1/z)/(5+2z+2/z)dz/iz

=1/i∫(|z|=1) (z²+z+1)/z(2z²+5z+2)dz

=1/2i∫(|z|=1) dz/z-1/2i∫(|z|=1) dz/(z+1/2)+1/2i∫(|z|=1) dz/(z+2)

由柯西积分公式,1/2i∫(|z|=1) dz/z=π,1/2i∫(|z|=1) dz/(z+1/2)=-π

由柯西积分定理,1/2i∫(|z|=1) dz/(z+2)=0

於是原式=π-π+0=0

圆周方程为z=1+e^(it)=1+cost+isint,t从0到2π,那麼dz=ie^(it)dt=i(cost+isint)dt

∴我省略积分路径不写∫f(z)dz=∫[0,2π](1+cost)i(cost+isint)dt

=∫[0,2π]icostdt+∫[0,2π]icos²tdt-∫[0,2π]sintdt-∫[0,2π]sintcostdt

=0+iπ-0-0

=πi

过程不算很详细, 有疑问请追问

(1) e^(iz)在原点的幂级数展开为1+iz+(iz)²/2+(iz)³/6+

因此f(z) = (1+iz-e^(iz))/z² = 1/2+iz/6+

可知a = lim{z → 0} f(z) = 1/2

(2) 在定义f(0) = a以后, f(z)在整个复平面上解析

由Cauchy积分定理, f(z)沿闭曲线D_A的积分∫{D_A} f(z)dz = 0

(3) 曲线C_A可参数化为z = Ae^(it), t由0到π

故∫{C_A} (1+iz)/z² dz = ∫{0,π} (1+iAe^(it))/(Ae^(it))² d(Ae^(it))

= ∫{0,π} (1+iAe^(it))/(Ae^(it))²·Aie^(it) dt

= i/A·∫{0,π} e^(-it)dt + ∫{0,π} (-1)dt

= i/A·(ie^(-iπ)-ie^(-i0))-π

= 2/A-π

于是lim{A → +∞} ∫{C_A} (1+iz)/z² dz = -π

(4) |∫{C_A} e^(iz)/z² dz| = |∫{0,π} e^(iAe^(it))/(Ae^(it))² d(Ae^(it))|

= |∫{0,π} e^(iAe^(it))/(Ae^(it)) dt|

≤ ∫{0,π} |e^(iAe^(it))/(Ae^(it))| dt

= ∫{0,π} |e^(-Asin(t)+iAcos(t))|/|Ae^(it)| dt (当b为实数, |e^(ib)| = 1)

= ∫{0,π} e^(-Asin(t))/A dt

≤ ∫{0,π} 1/A dt (Asin(t) ≥ 0, 故e^(-Asin(t)) ≤ 1)

= π/A

当A → +∞时π/A → 0, 可得lim{A → +∞} |∫{C_A} e^(iz)/z² dz| = 0

故lim{A → +∞} ∫{C_A} e^(iz)/z² dz = 0

(5) 由(3)(4)的结果, 可得lim{A → +∞} ∫{C_A} f(z)dz = -π

又由0 = ∫{D_A} f(z)dz = ∫{C_A} f(z)dz+∫{-A,A} f(z)dz,

可得lim{A → +∞} ∫{-A,A} f(z)dz = π

注意到∫{-A,A} f(z)dz = ∫{-A,0} f(z)dz+∫{0,A} f(z)dz

= ∫{0,A} f(-z)dz + ∫{0,A} f(z)dz

= ∫{0,A} f(z)+f(-z) dz

= ∫{0,A} (1+iz-e^(iz)+1-iz-e^(-iz))/z² dz

= 2∫{0,A} (1-cos(z))/z² dz

因此∫{0,+∞} (1-cos(x))/x² dx = lim{A → +∞} ∫{0,A} (1-cos(z))/z² dz = π/2

e^(it)=cost+isint

据此可知：

(1+i)^i

=[e^(ln(1+i))]^i

=e^（iln(1+i))

=e^[iln(2^(1/2)(cosPi/4+isinPi/4))]

=e^[i（ln2/2+iPi/4)] 因为e^(iPi/4)=cosPi/4+isinPi/4 所以：ln(cosPi/4+isinPi/4)=iPi/4

=e^(-Pi/4+iln2/2)

=e^(Pi/4)^(-1)（cos（ln2/2）+isin（ln2/2）)

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