机器学习正则化

正则化作用

在机器学习中，通常会在损失函数后加入正则项来防止模型过拟合。

L1正则化

  L1正则化公式为：

  L为损失函数，W为网络权重，b为偏置值，m为样本数量，n_x为网络层数， λ \lambda λ是超参数。

L2正则化

  L2正则化公式为：

  L为损失函数，W为网络权重，b为偏置值，m为样本数量，n_x为网络层数， λ \lambda λ是超参数。

L2正则化含义

  在对W进行梯度下降时，对于第l层的参数 W [ l ] W^{[l]} W[l]更新过程如下：
  先计算 w [ l ] w^{[l]} w[l]的梯度，对上式求导结果如下：
d w [ l ] = ∂ J ∂ w [ l ] + λ m w [ l ] ① dw^{[l]} = \frac{\partial J}{\partial w^{[l]}} + \frac{\lambda }{m}w^{[l]} \qquad ① dw[l]=∂w[l]∂J​+mλ​w[l]①
  然后更新 w [ l ] w^{[l]} w[l]的值，更新过程如下：
w [ l ] = w [ l ] − α d w [ l ] ② w^{[l]} = w^{[l]} - \alpha dw^{[l]} \qquad ② w[l]=w[l]−αdw[l]②
  将公式②带入公式①中，整理后得到如下式子：
w [ l ] = ( 1 − α λ m ) w [ l ] − α ∂ J ∂ w [ l ] ③ w^{[l]} = (1 - \frac{ \alpha \lambda}{m}) w^{[l]} - \alpha\frac{\partial J}{\partial w^{[l]}} \qquad ③ w[l]=(1−mαλ​)w[l]−α∂w[l]∂J​③
  通过公式③可以看出L2的正则化 w [ l ] w^{[l]} w[l]先乘以一个小于1的因子，将自身缩小，然后再减去梯度值，进行梯度下降。因此L2正则化又被称为权重衰减。不难看出W的值由于正则项的加入不会变的特别大，因为当W值过大时，正则项的数值也会增大，梯度值也同样增大，在梯度下降时W的值会变小，直至接近0。

为什么正则化可以防止过拟合

  上面说了L2的作用是防止W的值过大，那为什么缩小W的值就能防止过拟合呢？
  首先说一下直观理解，W的值越小，代表隐藏的神经单元的影响就越小。当我们使用L2正则化后，W的值会变小，代表我们减少许多隐藏单元的影响，使网络模型变得简单。参考文章：https://www.zhihu.com/question/52993836/answer/2392676514。

  直观理解，下图是tanh函数图像：
设 z [ l ] = W [ l ] a [ l − 1 ] + b [ l ] z^{[l]} = W^{[l]}a^{[l-1]}+b^{[l]} z[l]=W[l]a[l−1]+b[l]， g ( z ) = t a n h ( z ) g(z) = tanh(z) g(z)=tanh(z)。其中 a [ l − 1 ] a^{[l-1]} a[l−1]为前一层输出。
由于L2正则化会使得W的值变小，因此Z的值也会变得很小，带入激活函数后，g(z)的值会取再下图中红色区域。

  由于此时激活函数的值只在红色区域取得，tanh可以近似看所以为线性函数，我们知道如果每一层都是线性函数，那么整个网络最后和线性回归函数一样，网络复杂度大大降低，能够有效防止过拟合。