名称定义
假设集合A={a,b},集合B={0,1,2},则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有,如果A表示某学校学生的集合,B表示该学校所有课程的集合,则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。
笛卡儿积的运算性质
由于有序对<x,y>中x,y的位置是确定的,因此A×B的记法也是确定的,不能写成B×A
笛卡儿积也可以多个集合合成,A1×A2×…×An
笛卡儿积的运算性质 一般不能交换
笛卡儿积,把集合A,B合成集合A×B,规定
A×B={<x,y>½xÎAÙyÎB}
推导过程
给定一组域D1,D2,…,Dn,这些域中可以有相同的。D1,D2,…,Dn的笛卡尔积为:
D1×D2×…×Dn={(d1,d2,…,dn)|diDi,i=1,2,…,n}
所有域的所有取值的一个组合不能重复
例 给出三个域:
D1=SUPERVISOR ={ 张清玫,刘逸 }
D2=SPECIALITY={计算机专业,信息专业}
D3=POSTGRADUATE={李勇,刘晨,王敏}
则D1,D2,D3的笛卡尔积为D:
D=D1×D2×D3 =
{(张清玫,计算机专业,李勇),(张清玫,计算机专业,刘晨),
(张清玫,计算机专业,王敏),(张清玫,信息专业,李勇),
(张清玫,信息专业,刘晨),(张清玫,信息专业,王敏),
(刘逸,计算机专业,李勇),(刘逸,计算机专业,刘晨),
(刘逸,计算机专业,王敏),(刘逸,信息专业,李勇),
(刘逸,信息专业,刘晨),(刘逸,信息专业,王敏) }
这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合,形成庞大的集合群。
本个例子中的D中就会有2X2X3个元素,如果一个集合有1000个元素,有这样3个集合,他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集,那么新的集合就将是有无限个元素。
序偶与笛卡尔积
在日常生活中,有许多事物是成对出现的,而且这种成对出现的事物,具有一定的顺序。例如,上,下;左,右;3〈4;张华高于李明;中国地处亚洲;平面上点的坐标等。一般地说,两个具有固定次序的客体组成一个序偶,它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x,y〉。上述各例可分别表示为〈上,下〉;〈左,右〉;〈3,4〉;〈张华,李明〉;〈中国,亚洲〉;〈a,b〉等。
序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a,b}={b,a},但对序偶〈a,b〉≠〈b,a〉。
设x,y为任意对象,称集合{{x},{x,y}}为二元有序组,或序偶(ordered pairs),简记为<x,y> 。称x为<x,y>的第一分量,称y为第二分量。
定义3-41 对任意序偶<a,b> , <c, d > ,<a,b> = <c, d > 当且仅当a=c且b = d 。
递归定义n元序组 <a1,… , an>
<a1,a2> ={{a1},{a1 , a2}}
<a1 , a2 , a3 > = { {a1 , a2},{a1 , a2 , a3}}
= < <a1 , a2 > , a3 >
<a1,…an> = <<a1,…an-1>, an>
两个n元序组相等
< a1,…an >= < b1,…bn >Û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)
定义3-42 对任意集合 A1,A2 , …,An,
(1)A1×A2,称为集合A1,A2的笛卡尔积(Cartesian product),定义为
A1 ×A2={x | $u $v(x = <u,v>∧u ÎA1∧vÎA2)}={<u,v> | u ÎA1∧vÎA2}
(2)递归地定义 A1 × A2× … × An
A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An
例题1 若A={α,β},B={1,2,3},求A×B,A×A,B×B以及(A×B)Ç(B×A)。
解 A×B={〈α,1〉,〈α,2〉,〈α,3〉,〈β,1〉,〈β,2〉,<β,3〉}
B×A={〈1,α〉,〈1,β〉,〈2,α〉,〈2,β〉,〈3,α〉,〈3,β〉}
A×A={〈α,α〉,〈α,β〉,〈β,α〉,〈β,β〉}
B×B={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,1〉,〈3,2〉,〈3,3〉}
(A×B)Ç(B×A)=Æ
由例题1可以看到(A×B)Ç(B×A)=Æ
我们约定若A=Æ或B=Æ,则A×B=Æ。
由笛卡尔定义可知:
(A×B)×C={〈〈a,b〉,c〉|(〈a,b〉∈A×B)∧(c∈C)}
={〈a,b,c〉|(a∈A)∧(b∈B)∧(c∈C)}
A×(B×C)={〈a,〈b,c〉〉|(a∈A)∧(〈b,c〉∈B×C)}
由于〈a,〈b,c〉〉不是三元组,所以
(A×B)×C ≠A×(B×C)
定理3-41 设A, B, C为任意集合,表示 È,Ç或 – 运算,那么有如下结论:
笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即:
A×(BC)=(A×B)(A×C)
笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即:
(BC) ×A=(B×A)(C×A)
¤ 当表示 È时,结论(1)的证明思路:(讨论叙述法)
先证明A×(B È C)Í(A×B) È (A×C) 从<x,y>∈A×(BÈC)出发,推出<x,y>∈(A ×B) È (A×C)
再证明(A×B) È (A×C) Í A×(B È C)
从<x,y>∈(A×B) È (A×C)出发,推出<x,y>∈A×(BÈC)
当表示 È时,结论(2)的证明思路:(谓词演算法) 见P-103页。¤
定理3-42 设A, B, C为任意集合,若C ≠ F,那么有如下结论:
AÍBÛ(A×C ÍB×C) Û (C×AÍC×B) ¤
定理前半部分证明思路 :(谓词演算法)
先证明AÍB Þ (A×CÍB×C)
以AÍB 为条件,从<x,y>∈A×C出发,推出<x,y>∈B×C
得出(A×CÍB×C)结论。
再证明(A×C ÍB×C) Þ AÍB
以C≠F为条件,从x∈A出发,对于y∈C,利用Þ附加式,推出x∈B
得出(AÍB)结论。 见P-103页。 ¤
定理3-43 设A, B, C, D为任意四个非空集合,那么有如下结论:
A×B Í C×D的充分必要条件是AÍ C,BÍ D
¤证明思路:(谓词演算法)
先证明充分性: A×B Í C×D Þ AÍ C,BÍ D
对于任意的x∈A、y∈B,从<x,y>∈A×B出发,利用条件A×BÍ C×D, <x,y>∈C×D,推出x∈C, y∈D。
再证明必要性: AÍ C,BÍ D ÞA×BÍ C×D
对于任意的x∈A、y∈B,从<x,y>∈A×B出发,推出<x,y>∈C×D
study(sno,cno,score)查询至少选修了两门课程的学生学号:π1(σ(1=4Λ2!=5)(study x study))。
select sno(学生的学号) from sc(学生选课表)
group by sno having count()>1
select a学号,b姓名,acnt as 选修门数 from
(select 学号,count(1) as as cnt from 选课表 group by 学号
having count(1)=(select count(1) from 课程表)) a,
学生表 b where a学号=b学号;
扩展资料:
设关系R和关系S具有相同的目n,且相应的属性取自同一个域,则关系R与关系S的差由属于R而不属于S的所有元组组成。其结果关系仍为n目关系。记作:
R-S={t|t∈R∧t∉S}
设关系R和关系S具有相同的目n,且相应的属性取自同一个域,则关系R与关系S的交由既属于R又属于S的元组组成。其结果关系仍为n目关系。记作:
R∩S={t|t∈R∧t∈S}
这里的笛卡尔积严格地讲是广义笛卡尔积(Extended Cartesian Product)。在不会出现混淆的情况下广义笛卡尔积也称为笛卡尔积。
两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个(n+m)列的元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组,后m列是关系S的一个元组。若R有k1个元组,S有k2个元组,则关系R和关系S的广义笛卡尔积有k1×k2个元组。
参考资料来源:百度百科-关系代数
自然连接(Natural join)是一种特殊的等值连接,它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组,并且在结果中把重复的属性列去掉。而等值连接并不去掉重复的属性列。
自然连接是关系R和S在所有公共属性(common attribute)上的等接(Equijoin)。但在得到的结果中公共属性只保留一次,其余删除,R⋈S ≡ ΠR u S( δ predicate(R x S))。
直观的说就是集合A{a1,a2,a3} 集合B{b1,b2} ,他们的笛卡尔积是AB ={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}。任意两个元素结合在一起,两个逻辑算式之间的比较,如果不全为真,则结果为假。
举例:现有a和b两表分别为关系R和S关系。
扩展资料:
其实就是域相同的属性值相等就连接。
比如有R(A,B)和S(B,C)两个关系,自然连接的条件就是RB=SB,结果是一个关系,为3个属性(A,B,C)。
通过相同名字的属性连接的结果就是自然连接。自然连接是在笛卡尔积中选取属性值(对于这个例子就是属性B)相等的那些条目,然后把重复的属性删掉。
本例的自然连接就是 {m 1 3},并和交需要两个关系的结构相同,本例R的结构是属性A B S的结构是属性B C, 故而不能做交或者并的运算。
自然连接又叫笛卡尔乘积,简单的说就是两个集合相乘的结果,直观的说就是集合A{a1,a2,a3} 集合B{b1,b2},他们的笛卡尔积是 AB ={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}。任意两个元素结合在一起,两个逻辑算式之间的比较,如果不全为真,则结果为假。
参考资料来源:百度百科-自然连接
笛卡尔积(×)、连接(∞)、投影(π)、选择(σ)
数据库(Database),简而言之可视为电子化的文件柜——存储电子文件的处所,用户可以对文件中的数据运行新增、截取、更新、删除等 *** 作。
所谓“数据库”系以一定方式储存在一起、能予多个用户共享、具有尽可能小的冗余度、与应用程序彼此独立的数据集合。一个数据库由多个表空间(Tablespace)构成。
AB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)},这个集合共9个元素
一般地,如果A集合有m个元素,B集合有n个元素,则AB有mn个元素。
数据库中的数据都是以二维表的形式存放的,元组就是表格的行,分量就是其中的每个字段,字段就是这一行的 每一的小的标题笛卡儿积就是把两个表中的不同的行相乘,笛卡儿积的结果的表格的行数就是两个相乘的表格的的行数的乘积,分量的数目就是两个表格的分量数目相加
比如 1 2 3 3 6 2
1 5 9 和 0 3 1相乘
4 8 3 3 6 1
则结果就是 1 2 3 3 6 2
1 2 3 0 3 1
1 2 3 3 6 1
1 5 9 3 6 2
1 5 9 0 3 1
1 5 9 3 6 1
4 8 3 3 6 2
4 8 3 0 3 1
4 8 3 3 6 1
就是这样,我说的很浅显,希望能帮上你。
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