数据库里的笛卡儿积是什么东西

笛卡尔积又叫笛卡尔乘积，是一个叫笛卡尔的人提出来的。 简单的说就是两个集合相乘的结果。 具体的定义去看看有关代数系的书的定义。 直观的说就是 集合A{a1,a2,a3} 集合B{b1,b2} 他们的 笛卡尔积 是 AB ={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)} 任意两个元素结合在一起

并:将2个集合(或数据库查询的结果集)中的元素相加,并去掉重复元素(只留下1个)

交:取得将2个集合(或数据库查询的结果集)中共有的元素

笛卡儿积:从2个集合(或数据库查询的结果集)中各取1个元素两两配对,元素个数变成原先每个集合中元素个数的乘积

投影:取得查询结果集中的部分字段,并去掉重复元素(数据库专有)

例:

假设有一个集合包含A, B两个元素,另一个包含C, D, E三个元素

那么它们的笛卡尔积就是AC,AD,AE,BC,BD,BE

至于投影,只存在于关系数据库中,假设一个查询结果集包含A, B, C三个字段,每个字段中有若干个值,那么对A作投影就是取A这个字段中的所有值但是这时候可能会出现重复项,要去掉,因为投影之前可能会出现A的值相同,但B或C的值不同的情况,如下表:

A B C

a1 b1 c1

a1 b2 c2

a2 b2 c3

a2 b2 c4

作A的投影就是a1, a2;

作B的投影就是b1, b2;

作C的投影就是c1, c2, c3, c4;

作A和B的投影就是{a1, b1},{a1, b2},{a2, b2}

区别：

笛卡尔积对两个关系R和S进行 *** 作，产生的关系中元组个数为两个关系中元组个数之积。

等值连接则是在笛卡尔积的结果上再进行选择 *** 作，挑选关系第 i 个分量与第(r+j) 个分量值相等的元组。

自然连接则是在等值连接(以公共属性值相等为条件)的基础上再行投影 *** 作，去掉 S 中的公共属性列，当两个关系没有公共属性时，自然连接就转化成笛卡尔积。

1、自然连接一定是等值连接，但等值连接不一定是自然连接。

2、等值连接要求相等的分量，不一定是公共属性；而自然连接要求相等的分量必须是公共属性

3、等值连接不把重复的属性除去；而自然连接要把重复的属性除去。

笛卡尔积：

在数学中，两个集合X和Y的笛卡儿积（Cartesian product），又称直积，表示为X × Y，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员。

假设集合A={a, b}，集合B={0, 1, 2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。

等值连接：

等值连接是关系运算-连接运算的一种常用的连接方式。是条件连接（或称θ连接）在连接运算符为“=”号时（即θ=0时）的一个特例。

自然连接：

自然连接(Natural join)是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉。而等值连接并不去掉重复的属性列。

221 关系代数的五个基本 *** 作

考核要求：达到“简单应用”

层次知识点：五个基本 *** 作的含义和运算应用

（1）并（∪）：两个关系需有相同的关系模式，并的对象是元组，由两个关系所有元组构成。

RUS≡{t| t∈R ∨t∈S}

（2） 差（-）：同样，两个关系有相同的模式，R和S的差是由属于R但不属于S的元组构成的集合。

R-S≡{t| t∈R ∧t 不属于S}

（3）笛卡尔积（×）：对两个关系R和S进行 *** 作，产生的关系中元组个数为两个关系中元组个数之积。

R×S≡{t| t= tr，ts>∧tr∈R∧ts ∈S}

（4） 投影（σ）：对关系进行垂直分割，消去某些列，并重新安排列的顺序。

（5） 选择（π）：根据某些条件关系作水平分割，即选择符合条件的元组。

222 关系代数的四个组合 *** 作

考核要求：达到“简单应用”

层次知识点：四个组合 *** 作的含义和运算应用

（1）交（∩）：R和S的交是由既属于R又属于S的元组构成的集合。

（2）联接：包括θ（算术比较符）联接和F（公式）联接。

选择R×S中满足iθ（r+j）或F条件的元组构成的集合；

概念上比较难理解，关键理解运算实例等值联接（θ为等号“=”的联接）。

（3）自然联接（RS）：在R×S中，选择R和S公共属性值均相等的元组，并去掉R×S中重复的公共属性列。 如果两个关系没有公共属性，则自然联接就转化为笛卡尔积。

（4）除法（÷）：首先除法的结果中元数为两个元数的差， R÷S的 *** 作思路如下——把S看作一个块，如果R中相同属性集中的元组有相同的块， 且除去此块后留下的相应元组均相同，那么可以得到一条元组， 所有这些元组的集合就是除法的结果

对于上述的五个基本 *** 作和四个组合 *** 作，应当从实际运算方面进行理解和运用。

应用举例

223 关系代数表达式及应用

考核要求：达到“简单应用”

层次知识点：关系代数表达式的应用

本节的内容是有关实际应用，应该多看例题，多做习题，必须达到以下要求： 能够根据给出的关系代数表达式计算关系值，也能够根据相应查询要求列出关系表达式。

（1）在列关系表达式时，通常有以下形式：

π……（σ……（R×S））或者π……（σ……（RS））

首先把查询涉及到的关系取来，执行笛卡尔积或自然联接 *** 作得到一张大的表格，然后对大表格执行水平分割（选择）和垂直分割（投影） *** 作。

（2）当查询涉及到否定或全部的逻辑时，往往要用到差或除法 *** 作。

关系代数表达式举例

224 扩充的关系代数 *** 作

考核要求：达到“识记”

层次知识点：了解“外联接”和“外部并”的含义

注意：（1）“外联接”、“左外联接”、“右外联接”和“自然连接”的差异。

（2）“外部并”和“并”的差异

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