数据拟合的算法相对比较简单，但调用不同工具和方法时的函数定义和参数设置有所差异，往往使小白感到困惑。
本文基于 Scipy 工具包，对单变量、多变量线性最小二乘拟合，指数函数、多项式函数、样条函数的非线性拟合，单变量、多变量的自定义函数拟合问题进行分析、给出完整例程和结果，数据拟合从此无忧。
1. 数据拟合在科学研究和工程应用中经常通过测量、采样、实验等方法获得各种数据。
对一组已知数据点集，通过调整拟合函数（曲线）的参数，使该函数与已知数据点集相吻合，这个过程称为数据拟合，又称曲线拟合。
插值和拟合都是根据一组已知数据点，求变化规律和特征相似的近似曲线的过程。
但是插值要求近似曲线完全经过所有的给定数据点，而拟合只要求近似曲线在整体上尽可能接近数据点，并反映数据的变化规律和发展趋势。
因此插值可以看作是一种特殊的拟合，是要求误差函数为 0 的拟合。
1.1 数据拟合问题的分类数据拟合问题，可以从不同角度进行分类：按照拟合函数分类，分为线性函数和非线性函数。
非线性函数用于数据拟合，常用的有多项式函数、样条函数、指数函数和幂函数，针对具体问题还有自定义的特殊函数显示。
按照变量个数分类，分为单变量函数和多变量函数。
按照拟合模型分类，分为基于模型的数据拟合和无模型的函数拟合。
基于模型的数据拟合，是通过建立数学模型描述输入输出变量之间的关系，拟合曲线不仅能拟合观测数据，拟合模型的参数通常具有明确的物理意义。
而无模型的函数拟合，是指难以建立描述变量关系的数学模型，只能采用通用的函数和曲线拟合观测数据，例如多项式函数拟合、样条函数拟合，也包括机器学习和神经网络模型，这种模型的参数通常没有明确的意义。
1.2 数据拟合的原理和方法数据拟合通过调整拟合函数中的待定参数，从整体上接近已知的数据点集。
这是一个优化问题，决策变量是拟合函数的待定参数，优化目标是观测数据与拟合函数的函数值之间的某种误差指标。
典型的优化目标是拟合函数值与观测值的误差平方和；当观测数据的重要性不同或分布不均匀时，也可以使用加权误差平方和作为优化目标。
数据拟合的基本方法是最小二乘法。
对于观测数据 ( x i , y i ) , i = 1 , . . n，将观测值 y i与拟合函数 y = f ( x , p ) 的计算值 f ( x i ) 的误差平方和最小作为优化问题的目标函数：( p 1 , ⋯ p m ) 是拟合函数中的待定参数。
对于线性拟合问题，设拟合函数为直线 f ( x ) = p 0 + p 1 ∗ x ， 由极值的必要条件 $ partial J/partial p_j = 0,; (j=0,1)$ 可以解出系数 p 0 , p 1 ：对于多变量线性最小二乘问题，设拟合函数为直线 f ( x ) = p 0 + p 1 ∗ x 1 + ⋯ + p m ∗ x m ， 类似地，可以解出系数 p 0 , p 1 , ⋯ p m 。
对于非线性函数的拟合问题，通常也是按照最小二乘法的思路，求解上述误差平方和最小化这个非线性优化问题，常用的具体算法有搜索算法和迭代算法两类。
1.3 Python 数据拟合方法数据拟合是常用算法，Python 语言的很多工具包都提供了数据拟合方法，常用的如 Scipy、Numpy、Statsmodel、Scikit-learn 工具包都带有数据拟合的函数与应用。
Scipy 是最常用的 Python 工具包，本系列中非线性规划、插值方法也都是使用 Scipy 工具包实现，因此仍以 Scipy 工具包讲解数据拟合问题。
Scipy 工具包对于不同类型的数据拟合问题，提供了不同的函数或类。
由于 Scipy 工具包是多个团队合作完成，而且经过了不断更新，因此调用不同函数和方法时的函数定义和参数设置有所差异，往往使小白感到困惑。
本文对单变量、多变量线性最小二乘拟合，指数函数、多项式函数、样条函数的非线性拟合，单变量、多变量的自定义函数拟合问题进行分析、给出完整例程和结果，数据拟合从此无忧。
2. 线性最小二乘拟合2.1 线性最小二乘拟合函数说明线性最小二乘拟合是最简单和最常用的拟合方法。
scipy.optimize 工具箱中的 leastsq()、lsq_linear()，scipy.stats 工具箱中的 linregress()，都可以实现线性最小二乘拟合。
2.1.1 scipy.optimize.leastsq 函数说明leastsq() 根据观测数据进行最小二乘拟合计算，只需要观测值与拟合函数值的误差函数和待定参数 的初值，返回拟合函数中的待定参数 ( p 1 , ⋯ p m ) ，但不能提供参数估计的统计信息。
leastsq() 可以进行单变量或多变量线性最小二乘拟合，对变量进行预处理后也可以进行多项式函数拟合。
scipy.optimize.leastsq(func, x0, args=(), Dfun=None, full_output=0, col_deriv=0, ftol=1.49012e-08, xtol=1.49012e-08, gtol=0.0, maxfev=0, epsfcn=None, factor=100, diag=None)主要参数：func：可调用的函数，描述拟合函数的函数值与观测值的误差，形式为 error(p,x,y)，具有一个或多个待定参数 p。
误差函数的参数必须按照 (p,x,y) 的顺序排列，不能改变。
x0：一维数组，待定参数 ( p 1 , ⋯ p m ) 的初值。
args：元组，线性拟合时提供观测数据值 (xdata, ydata)，观测数据 xdata 可以是一维数组（单变量问题），也可以是多维数组（多变量问题）。
返回值：x：一维数组，待定参数 ( p 1 , ⋯ p m )的最小二乘估计值。
2.1.2 scipy.stats.linregress 函数说明linregress() 根据两组观测数据 (x,y) 进行线性最小二乘回归，不仅返回拟合函数中的待定参数 ( p 1 , p 1 )，而且可以提供参数估计的各种统计信息，但只能进行单变量线性拟合。
scipy.stats.linregress(x, y=None, alternative=‘two-sided’)主要参数：x, y：x, y 是长度相同的一维数组。
或者 x 是二维数组，且 y=none，则二维数组 x 相当于 长度相同的一维数组 x, y。
返回值：slope：斜率，直线 f ( x ) = p 0 + p 1 ∗ x中的 p 1。
intercept：截距，直线 f ( x ) = p 0 + p 1 ∗ x中的 p 0 。
rvalue：r^2 值，统计量。
pvalue：p 值，P检验的统计量。
stderr：标准差，统计量。
2.2 Python 例程：单变量线性拟合程序说明：scipy.optimize.leastsq() 与 scipy.stats.linregress() 都可以进行单变量线性拟合。
leastsq() 既可以用于单变量也可以用于多变量问题；linregress() 只能用于单变量问题，但可以给出很多参数估计的统计结果。
leastsq() 要以子函数来定义观测值与拟合函数值的误差函数，例程中分别定义了拟合函数 fitfunc1(p, x) 与误差函数error1(p, x, y) ，是为了方便调用拟合函数计算拟合曲线在数据点的函数值。
注意 p 为数组 。
leastsq() 中误差函数的函数名可以任意定义，但误差函数的参数必须按照 (p,x,y) 的顺序排列，不能改变次序。
leastsq() 中观测数据 (x, yObs) 是以动态参数 args 的方式进行传递的。
这种处理方式非常独特，没有为什么， leastsq() 就是这样定义的。
linregress() 只要将观测数据 (x,yObs) 作为参数，默认单变量线性拟合，不需要定义子函数。
leastsq() 与 linregress() 进行线性拟合，得到的参数估计结果是相同的。
Python 例程：# mathmodel25_v1.py# Demo25 of mathematical modeling algorithm# Demo of curve fitting with Scipy# Copyright 2021 YouCans, XUPT# Crated：2021-08-03# 1. 单变量线性拟合：最小二乘法 scipy.optimize.leastsqimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt # 导入 Matplotlib 工具包from scipy.optimize import leastsq # 导入 scipy 中的最小二乘法拟合工具from scipy.stats import linregress # 导入 scipy 中的线性回归工具def fitfunc1(p, x): # 定义拟合函数为直线 p0, p1 = p # 拟合函数的参数 y = p0 + p1*x # 拟合函数的表达式 return ydef error1(p, x, y): # 定义观测值与拟合函数值的误差函数 err = fitfunc1(p,x) - y # 误差 return err# 创建给定数据点集 (x,yObs)p = [2.5, 1.5] # y = p[0] + p[1] * xx = np.array([0., 0.5, 1.5, 2.5, 4.5, 5.5, 7.5, 8.0, 8.5, 9.0, 10.0])y = p[0] + p[1] * x # 理论值 ynp.random.seed(1)yObs = y + np.random.randn(x.shape[-1]) # 生成带有噪声的观测数据# print(x.shape, y.shape, yObs.shape)# 由给定数据点集 (x,y) 求拟合函数的参数 pFitp0 = [1, 1] # 设置拟合函数的参数初值pFit, info = leastsq(error1, p0, args=(x,yObs)) # 最小二乘法求拟合参数print("Data fitting with Scipy.optimize.leastsq")print("y = p[0] + p[1] * x")print("p[0] = {:.4f}np[1] = {:.4f}".format(pFit[0], pFit[1]))# 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值yFit = fitfunc1(pFit,x)# 比较：线性回归，可以返回斜率，截距，r 值，p 值，标准误差slope, intercept, r_value, p_value, std = linregress(x, yObs)print("nLinear regress with Scipy.stats.linregress")print("y = p[0] + p[1] * x")print("p[0] = {:.4f}".format(intercept)) # 输出截距 interceptprint("p[1] = {:.4f}".format(slope)) # 输出斜率 slopeprint("r^2_value: {:.4f}".format(r_value**2)) # 输出 r^2 值print("p_value: {:.4f}".format(p_value)) # 输出 p 值print("std: {:.4f}".format(std)) # 输出标准差 std# 绘图fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))ax.text(8,3,"youcans-xupt",color='gainsboro')ax.set_title("Data fitting with linear least squares")plt.scatter(x, yObs, label="observed data")plt.plot(x, y, 'r--', label="theoretical curve")plt.plot(x, yFit, 'b-', label="fitting curve")plt.legend(loc="best")plt.show()程序运行结果：Data fitting with Scipy.optimize.leastsqy = p[0] + p[1] * xp[0] = 2.2688p[1] = 1.5528Linear regress with Scipy.stats.linregressy = p[0] + p[1] * xp[0] = 2.2688p[1] = 1.5528r^2_value: 0.9521p_value: 0.0000std: 0.11612.3 Python 例程：多变量线性拟合程序说明：scipy.optimize.leastsq() 既可以用于单变量也可以用于多变量问题，本例程求解一个二元线性拟合问题：y = p[0] + p[1] * x1 + p[2] * x2。
leastsq() 求解多变量问题的方法与单变量问题类似，以子函数 error2(p, x1, x2, y) 来定义观测值与拟合函数值的误差函数，以动态参数 args 的方式传递观测数据 (x, yObs) 。
leastsq() 中误差函数的函数名可以任意定义，但误差函数的参数必须按照 (p,x1,x2,y) 的顺序排列，不能改变次序。
scipy 只能做一元线性回归，例程中通过调用 statsmodels.api 进行多元线性回归，可以得到各种统计参数，供读者参考。
Python 例程：# mathmodel25_v1.py# Demo25 of mathematical modeling algorithm# Demo of curve fitting with Scipy# Copyright 2021 YouCans, XUPT# Crated：2021-08-03# 2. 多变量线性拟合：最小二乘法 scipy.optimize.leastsqimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt # 导入 Matplotlib 工具包from scipy.optimize import leastsq # 导入 scipy 中的最小二乘法工具def fitfunc2(p, x1, x2): # 定义拟合函数为直线 p0, p1, p2 = p # 拟合函数的参数 y = p0 + p1*x1 + p2*x2 # 拟合函数的表达式 return ydef error2(p, x1, x2, y): # 定义观测值与拟合函数值的误差函数 err = fitfunc2(p, x1, x2) - y # 计算残差 return err# 创建给定数据点集 (x,yObs)np.random.seed(1)p = [2.5, 1.5, -0.5] # y = p[0] + p[1] * x1 + p[2] * x2x1 = np.array([0., 0.5, 1.5, 2.5, 4.5, 5.5, 7.5, 8.0, 8.5, 9.0, 10.0])x2 = np.array([0., 1.0, 1.5, 2.2, 4.8, 5.0, 6.3, 6.8, 7.1, 7.5, 8.0])z = p[0] + p[1]*x1 + p[2]*x2 # 理论值 zzObs = z + np.random.randn(x1.shape[-1]) # 生成带有噪声的观测数据print(x1.shape, z.shape, zObs.shape)# 由给定数据点集 (x,z) 求拟合函数的参数 pFitp0 = [1, 1, 1] # 设置拟合函数的参数初值pFit, info = leastsq(error2, p0, args=(x1,x2,zObs)) # 最小二乘法求拟合参数print("Data fitting with Scipy.optimize.leastsq:")print("z = p[0] + p[1]*x1 + p[1]*x2")print("p[0]={:.4f}np[1]={:.4f}np[2]={:.4f}".format(pFit[0], pFit[1], pFit[2]))# 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值zFit = fitfunc2(pFit, x1, x2)# 多元线性回归：最小二乘法(OLS)import statsmodels.api as smx0 = np.ones(x1.shape[-1]) # 截距列 x0=[1,...1]X = np.column_stack((x0, x1, x2)) # (nSample,3): [x0, x1, x2]model = sm.OLS(zObs, X) # 建立 OLS 模型: y = b0*x0 + b1*x1 + b2*x2 + eresults = model.fit() # 返回模型拟合结果zFit = results.fittedvalues # 模型拟合的 y值print(results.summary()) # 输出回归分析的摘要print("nOLS model: y = b0*x0 + b1*x1 + b2*x2")print('Parameters: ', results.params) # 输出：拟合模型的系数程序运行结果：Data fitting with Scipy.optimize.leastsqz = p[0] + p[1]*x1 + p[1]*x2p[0]=2.6463p[1]=2.2410p[2]=-1.3710OLS Regression Results OLS model: y = b0*x0 + b1*x1 + b2*x2Parameters: [ 2.64628055 2.24100973 -1.37104475]============================================================================== coef std err t P>|t| [0.025 0.975]------------------------------------------------------------------------------const 2.6463 0.942 2.808 0.023 0.473 4.820x1 2.2410 1.043 2.148 0.064 -0.165 4.647x2 -1.3710 1.312 -1.045 0.326 -4.396 1.654==============================================================================3. 非线性函数数据拟合3.1 非线性拟合函数说明非线性函数是非常广泛的概念。
本节讨论指数函数、多项式函数和样条函数三种常用的通用形式的非线性函数拟合问题，分别使用了 Scipy 工具包中的 scipy.optimize.leastsq()、scipy.linalg.lstsq() 和scipy.interpolate.UnivariateSpline() 函数。
scipy.optimize.leastsq() 的使用方法已在本文 2.1 中进行了介绍，scipy.interpolate.UnivariateSpline() 的使用方法在《22. 插值方法》文中进行了介绍，以下介绍 scipy.linalg.lstsq() 函数。
lstsq() 函数只要传入观测数据 (x,yObs)，并将 x 按多项式阶数转换为 X，即可求出多项式函数的系数，不需要定义拟合函数或误差函数，非常适合比较不同阶数的多项式函数拟合的效果。
scipy.linalg.lstsq(a, b, cond=None, overwrite_a=False, overwrite_b=False, check_finite=True, lapack_driver=None)主要参数：a：(m,n) 数组，表示方程 Ax=b 的左侧。
b：(m,) 数组，表示方程 Ax=b 的右侧。
返回值：x：最小二乘的解，指多项式函数的系数。
注意：lstsq() 函数中求解方程 Ax=b，A 是指由观测数据 x i x_ix 按多项式阶数转换为矩阵 ( x i 0 , x i 1 , . . . x i m ) , i = 1 , ,n，b 是指 y i , i = 1 ,,n，而 x 是指多项式函数的系数，详见例程。
3.2 Python 例程：指数函数拟合程序说明：scipy.optimize.leastsq() 本质上是求解带有待定参数的误差函数最小化问题，因此可以用于指数函数的最小二乘拟合。
类似地，原理上 leastsq() 也可以用于其它形式非线性函数的拟合问题，但对于某些函数拟合误差可能会比较大。
leastsq() 以子函数 error3(p, x, y) 来定义观测值与拟合函数值的误差函数，以动态参数 args 的方式传递观测数据 (x, yObs) 。
leastsq() 中误差函数的函数名可以任意定义，但误差函数的参数必须按照 (p,x1,x2,y) 的顺序排列，不能改变次序。
Python 例程：# mathmodel25_v1.py# Demo25 of mathematical modeling algorithm# Demo of curve fitting with Scipy# Copyright 2021 YouCans, XUPT# Crated：2021-08-03# 3. 非线性函数拟合：指数函数拟合(exponential function)import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt # 导入 Matplotlib 工具包from scipy.optimize import leastsq # 导入 scipy 中的最小二乘法工具def fitfunc3(p, x): # 定义拟合函数 p0, p1, p2 = p # 拟合函数的参数 y = p0 + p1 * np.exp(-p2*x) # 拟合函数的表达式 return ydef error3(p, x, y): # 定义残差函数 err = fitfunc3(p,x) - y # 残差 return err# 创建给定数据点集 (x,yObs)p = [0.5, 2.5, 1.5] # y = p0 + p1 * np.exp(-p2*x)x = np.linspace(0, 5, 50)y = fitfunc3(p, x)np.random.seed(1)yObs = y + 0.2*np.random.randn(x.shape[-1]) # 生成带有噪声的观测数据# print(x.shape, y.shape, yObs.shape)# 由给定数据点集 (x,y) 求拟合函数的参数 pFitp0 = [1, 1, 1] # 设置拟合函数的参数初值pFit, info = leastsq(error3, p0, args=(x,yObs)) # 最小二乘法求拟合参数print("Data fitting of exponential function")print("y = p0 + p1 * np.exp(-p2*x)")print("p[0] = {:.4f}np[1] = {:.4f}np[2] = {:.4f}".format(pFit[0], pFit[1], pFit[2]))# 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值yFit = fitfunc3(pFit, x)# 绘图fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))ax.set_title("Data fitting of exponential function")plt.scatter(x, yObs, label="observed data")plt.plot(x, y, 'r--', label="theoretical curve")plt.plot(x, yFit, 'b-', label="fitting curve")plt.legend(loc="best")plt.show()程序运行结果：Data fitting of exponential functiony = p0 + p1 * np.exp(-p2*x)p[0] = 0.5216p[1] = 2.5742p[2] = 1.68753.3 Python 例程：多项式函数拟合程序说明：scipy.optimize.leastsq() 本质上是求解带有待定参数的误差函数最小化问题，因此可以用于多项式函数的最小二乘拟合，使用方法与线性拟合、指数拟合类似。
由于 leastsq() 要以子函数 error(p, x, y) 来定义观测值与拟合函数值的误差函数，在比较不同阶数的多项式函数拟合时需要定义多个对应的误差函数，比较繁琐。
scipy.linalg.lstsq() 只要传入观测数据 (x,yObs)，并将 x 按多项式阶数转换为 X，即可求出多项式函数的系数，不需要定义拟合函数或误差函数，非常适合比较不同阶数的多项式函数拟合的效果。
对于相同阶数的多项式函数，leastsq() 与 lstsq() 的参数估计和拟合结果是相同的。
增大多项式的阶数，可以减小拟合曲线与观测数据的误差平方和，但也更容易导致过拟合，虽然能更好地拟合训练数据，但并不能真实反映数据的总体规律，因而对于训练数据以外的测试数据的拟合效果反而降低了。
Python 例程：# mathmodel25_v1.py# Demo25 of mathematical modeling algorithm# Demo of curve fitting with Scipy# Copyright 2021 YouCans, XUPT# Crated：2021-08-03# 4. 非线性函数拟合：多项式函数拟合(Polynomial function)import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt # 导入 Matplotlib 工具包from scipy.linalg import lstsq # 导入 scipy 中的 linalg, stats 函数库from scipy.optimize import leastsq # 导入 scipy 中的最小二乘法工具def fitfunc4(p, x): # 定义拟合函数 p0, p1, p2, p3 = p # 拟合函数的参数 y = p0 + p1*x + p2*x*x + p3*x*x*x # 拟合函数的表达式 return ydef error4(p, x, y): # 定义观测值与拟合函数值的误差函数 err = fitfunc4(p,x) - y # 残差 return err# 创建给定数据点集 (x,yObs)p = [1.0, 1.2, 0.5, 0.8] # y = p0 + ((x*x-p1)**2+p2) * np.sin(x*p3)func = lambda x: p[0]+((x*x-p[1])**2+p[2])*np.sin(x*p[3]) # 定义 y=f(x)x = np.linspace(-1, 2, 30)y = func(x) # 计算已知数据点的理论值 y =f(x)np.random.seed(1)yObs = y + 0.5*np.random.randn(x.shape[-1]) # 生成带有噪声的观测数据 yObs# 绘图fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))ax.set_title("Polynomial fitting with least squares")plt.scatter(x, yObs, label="observed data")plt.plot(x, y, 'c--', label="theoretical curve")# 用 scipy.optimize.leastsq() 进行多项式函数拟合p0 = [1, 1, 1, 1] # 设置拟合函数的参数初值pFit, info = leastsq(error4, p0, args=(x,yObs)) # 最小二乘法求拟合参数yFit = fitfunc4(pFit, x) # 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值ax.plot(x, yFit, '-', label='leastsq')print("Polynomial fitting by scipy.optimize.leastsq")print("y = p[0] + p[1]*x + p[2]*x^2 +p[3]*x^3") # 拟合函数的表达式print("p[0] = {:.4f}np[1] = {:.4f}np[2] = {:.4f}np[3] = {:.4f}".format(pFit[0], pFit[1], pFit[2], pFit[3]))# 用 scipy.linalg.lstsq() 进行多项式函数拟合print("nPolynomial fitting by scipy.linalg.lstsq")print("y = w[0] + w[1]*x + w[2]*x^2 + ... + w[m]*x^m") # 拟合函数的表达式# 最小二乘法多项式数据拟合，求解多项式函数的系数 W=[w[0],...w[m]]for order in range(1,5): # order = 3 # 多项式阶数, m X = np.array([[(xi ** i) for i in range(order + 1)] for xi in x]) Y = np.array(yObs).reshape((-1, 1)) W, res, rnk, s = lstsq(X, Y) # 最小二乘法求解 A*W = b print("order={:d}".format(order)) for i in range(order+1): # W = [w[0],...w[order]] print("tw[{:d}] = {:.4f}".format(i, W[i,0])) # 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值 yFit = X.dot(W) # y = w[0] + w[1]*x + w[2]*x^2 + ... + w[m]*x^m # 绘图：n 次多项式函数拟合曲线 ax.plot(x, yFit, '-', label='order={}'.format(order))plt.legend(loc="best")plt.show()程序运行结果：Polynomial fitting by scipy.optimize.leastsqy = p[0] + p[1]*x + p[2]*x^2 +p[3]*x^3p[0] = 0.9586p[1] = -0.4745p[2] = -0.3581p[3] = 1.1721Polynomial fitting by scipy.linalg.lstsqy = w[0] + w[1]*x + w[2]*x^2 + ... + w[m]*x^morder=1w[0] = 1.0331w[1] = 1.7354order=2w[0] = 0.2607w[1] = 0.3354w[2] = 1.4000order=3w[0] = 0.9586w[1] = -0.4745w[2] = -0.3581w[3] = 1.1721order=4w[0] = 1.0131w[1] = 1.6178w[2] = -1.1039w[3] = -1.5209w[4] = 1.34653.4 Python 例程：样条曲线拟合程序说明：scipy.interpolate.UnivariateSpline() 类是一种基于固定数据点创建函数的方法，使用样条曲线拟合到给定的数据点集。
UnivariateSpline 类由已知数据点集生成样条插值函数 y=spl(x)，通过调用样条插值函数可以计算指定 x 的函数值 f(x)。
UnivariateSpline 类既可以进行数据插值，也可以进行拟合。
参数 s=0 表示数据插值，样条曲线必须通过所有数据点；s>0 表示数据拟合，默认 s= len(w)。
通过 set_smoothing_factor(sf) 设置光滑因子，可以对样条拟合函数进行调节，使拟合曲线更好地反映观测数据特征，避免过拟合。
Python 例程：# mathmodel25_v1.py# Demo25 of mathematical modeling algorithm# Demo of curve fitting with Scipy# Copyright 2021 YouCans, XUPT# Crated：2021-08-03# 5 非线性函数拟合：样条函数拟合(Spline function)import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt # 导入 Matplotlib 工具包from scipy.interpolate import UnivariateSpline # 导入 scipy 中的样条插值工具# 创建给定数据点集 (x,yObs)# y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)np.random.seed(1)p0, p1, p2, p3 = [1.0, 1.2, 0.5, 0.8] # 拟合函数的参数x = np.linspace(-1, 2, 30) # 生成已知数据点集的 xy = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3) # 生成理论值 yyObs = y + 0.5*np.random.randn(x.shape[-1]) # 生成带有噪声的观测数据# 由给定数据点集 (x,y) 求拟合函数的参数 fSplfSpl = UnivariateSpline(x, yObs) # 三次样条插值，默认 s= len(w)coeffs = fSpl.get_coeffs() # Return spline coefficientsprint("Data fitting with spline function")print("coeffs of 3rd spline function:n ", coeffs)# 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值yFit = fSpl(x) # 由插值函数 fSpl1 计算插值点的函数值 yFit# 对拟合函数 fitfunc 进行平滑处理fSpl.set_smoothing_factor(10) # 设置光滑因子 sfyS = fSpl(x) # 由插值函数 fSpl(sf=10) 计算插值点的函数值 yscoeffs = fSpl.get_coeffs() # 平滑处理后的参数print("coeffs of 3rd spline function (sf=10):n ", coeffs)# 绘图fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))ax.set_title("Data fitting with spline function")plt.scatter(x, yObs, label="observed data")plt.plot(x, y, 'r--', label="theoretical curve")plt.plot(x, yFit, 'b-', label="3rd spline fitting")plt.plot(x, yS, 'm-', label="smoothing spline")plt.legend(loc="best")plt.show()程序运行结果：Data fitting with spline functioncoeffs of 3rd spline function: [-0.09707885 3.66083026 -4.20416235 7.95385344]coeffs of 3rd spline function (sf=10): [0.41218039 0.52795588 1.6248287 0.76540737 8.49462738]4. 自定义函数曲线拟合4.1 scipy.optimize.curve_fit() 函数说明curve_fit() 使用非线性最小二乘法将自定义的拟合函数拟合到观测数据，不仅可以用于直线、二次曲线、三次曲线的拟合，而且可以适用于任意形式的自定义函数的拟合，使用非常方便。
curve_fit() 允许进行单变量或多变量的自定义函数拟合。
**scipy.optimize.curve_fit(f,xdata,ydata,p0=None,sigma=None,absolute_sigma=False,check_finite=True,bounds=(-inf,inf),method=None,jac=None,kwargs) **主要参数：f：可调用的函数，自定义的拟合函数，具有一个或多个待定参数。
拟合函数的形式为 func(x,p1,p2,…)，其中参数必须按照 (x,p1,p2,…) 的顺序排列，p1, p2,… 是标量不能表达为数组。
xdata：n*m数组，n 为观测数据长度，m为变量个数。
观测数据 xdata 可以是一维数组（单变量问题），也可以是多维数组（多变量问题）。
ydata：数组，长度为观测数据长度 n。
p0：可选项，待定参数 [p1,p2,…] 的初值，默认值无。
返回值：popt：待定参数 ( p 1 , ⋯ p m ) 的最小二乘估计值。
pcov：参数 ( p 1 , ⋯ p m )的估计值 popt 的协方差，其对角线是各参数的方差。
4.2 Python 例程：单变量自定义函数曲线拟合程序说明：不同于 leastsq() 定义观测值与拟合函数值的误差函数，scipy.optimize.curve_fit() 直接定义一个自定义的拟合函数，更为直观和便于理解。
curve_fit() 定义一个拟合函数，函数名可以任意定义，但拟合函数的参数必须按照 (x,p1,p2,…) 的顺序排列，不能改变次序。
p1, p2,… 是标量，不能写成数组。
注意 leastsq() 中误差函数的参数必须按照 (p,x,y) 的顺序排列，与 curve_fit() 不同。
leastsq() 也可以对自定义的拟合函数进行最小二乘拟合。
由于本例程中自定义拟合函数使用了观测数据的实际模型，而不是通用的多项式函数或样条函数，因此拟合结果不仅能很好的拟合观测数据，而且能更准确地反映实际模型的趋势。
Python 例程：# 6. 自定义函数曲线拟合：单变量import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt # 导入 Matplotlib 工具包from scipy.optimize import leastsq, curve_fit # 导入 scipy 中的曲线拟合工具def fitfunc6(x, p0, p1, p2, p3): # 定义拟合函数为自定义函数 # p0, p1, p2, p3 = p # 拟合函数的参数 y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3) return y# def error6(p, x, y): # 定义观测值与拟合函数值的误差函数# p0, p1, p2, p3 = p# err = fitfunc6(x, p0, p1, p2, p3) - y # 计算残差# return err# 创建给定数据点集 (x, yObs)p0, p1, p2, p3 = [1.0, 1.2, 0.5, 0.8] # y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)x = np.linspace(-1, 2, 30)y = fitfunc6(x, p0, p1, p2, p3)np.random.seed(1)yObs = y + 0.5*np.random.randn(x.shape[-1]) # 生成带有噪声的观测数据# # 用 scipy.optimize.leastsq() 进行函数拟合# pIni = [1, 1, 1, 1] # 设置拟合函数的参数初值# pFit, info = leastsq(error6, pIni, args=(x, yObs)) # 最小二乘法求拟合参数# print("Data fitting of custom function by leastsq")# print("y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)")# print("p[0] = {:.4f}np[1] = {:.4f}np[2] = {:.4f}np[3] = {:.4f}"# .format(pFit[0], pFit[1], pFit[2], pFit[3]))# 用 scipy.optimize.curve_fit() 进行自定义函数拟合(单变量)pFit, pcov = curve_fit(fitfunc6, x, yObs)print("Data fitting of custom function by curve_fit:")print("y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)")print("p[0] = {:.4f}np[1] = {:.4f}np[2] = {:.4f}np[3] = {:.4f}" .format(pFit[0], pFit[1], pFit[2], pFit[3]))print("estimated covariancepcov:n",pcov)# 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值yFit = fitfunc6(x, pFit[0], pFit[1], pFit[2], pFit[3])# 绘图fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6))ax.set_title("Data fitting of custom function")plt.scatter(x, yObs, label="observed data")plt.plot(x, y, 'r--', label="theoretical curve")plt.plot(x, yFit, 'b-', label="fitting curve")plt.legend(loc="best")plt.show()程序运行结果：Data fitting of custom function by curve_fit：y = p0 + ((x*x-p1)**2+ p2) * np.sin(x*p3)p[0] = 0.9460p[1] = 1.1465p[2] = 0.8291p[3] = 0.6008estimated covariancepcov: [[ 0.01341654 0.00523061 -0.01645431 0.00455901] [ 0.00523061 0.02648836 -0.04442234 0.02821206] [-0.01645431 -0.04442234 0.20326672 -0.07482843] [ 0.00455901 0.02821206 -0.07482843 0.0388316 ]]结果分析：4.3 Python 例程：多变量自定义函数曲线拟合程序说明：scipy.optimize.curve_fit() 既可以用于单变量也可以用于多变量问题，本例程求解一个二元非线性拟合问题。
curve_fit() 定义一个拟合函数 fitfunc7(X, p0, p1, p2, p3)，函数名可以任意定义，但拟合函数的参数必须按照 (x,p1,p2,…) 的顺序排列，不能改变次序。
p1, p2,… 是标量，不能写成数组。
curve_fit(fitfunc7, X, yObs) 中的 X 是 (n,m) 数组，n 是观测数据点集的长度，m 是变量个数。
Python 例程：# mathmodel25_v1.py# Demo25 of mathematical modeling algorithm# Demo of curve fitting with Scipy# Copyright 2021 YouCans, XUPT# Crated：2021-08-03# 7. 自定义函数曲线拟合：多变量import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt # 导入 Matplotlib 工具包from scipy.optimize import curve_fit # 导入 scipy 中的曲线拟合工具def fitfunc7(X, p0, p1, p2, p3): # 定义多变量拟合函数, X 是向量 # p0, p1, p2, p3 = p # 拟合函数的参数 y = p0 + p1*X[0,:] + p2*X[1,:] + p3*np.sin(X[0,:]+X[1,:]+X[0,:]**2+X[1,:]**2) return y# 创建给定数据点集 (x,yObs)p = [1.0, 0.5, -0.5, 5.0] # 自定义函数的参数p0, p1, p2, p3 = p # y = p0 + p1*x1 + p2*x2 + p3*np.sin(x1+x2+x1^2+x2^2)np.random.seed(1)x1 = 2.0 * np.random.rand(8) # 生成随机数组，长度为 8x2 = 3.0 * np.random.rand(5) # 生成随机数组，取值范围 (0,3.0)xmesh1, xmesh2 = np.meshgrid(x1, x2) # 生成网格点的坐标 xx,yy (二维数组)xx1= xmesh1.reshape(xmesh1.shape[0]*xmesh1.shape[1], ) # 将网格点展平为一维数组xx2= xmesh2.reshape(xmesh2.shape[0]*xmesh2.shape[1], ) # 将网格点展平为一维数组X = np.vstack((xx1,xx2)) # 生成多变量数组，行数为变量个数y = fitfunc7(X, p0, p1, p2, p3) # 理论计算值 y=f(X,p)yObs = y + 0.2*np.random.randn(y.shape[-1]) # 生成带有噪声的观测数据print(x1.shape,x2.shape,xmesh1.shape,xx1.shape,X.shape)# 用 scipy.optimize.curve_fit() 进行自定义函数拟合(多变量)pFit, pcov = curve_fit(fitfunc7, X, yObs) # 非线性最小二乘法曲线拟合print("Data fitting of multivariable custom function")print("y = p0 + p1*x1 + p2*x2 + p3*np.sin(x1+x2+x1^2+x2^2)")for i in range(4): print("p[{:d}] = {:.4f}tp[{:d}]_fit = {:.4f}".format(i, p[i], i, pFit[i]))# 由拟合函数 fitfunc 计算拟合曲线在数据点的函数值yFit = fitfunc7(X, pFit[0], pFit[1], pFit[2], pFit[3])程序运行结果：Data fitting of multivariable custom function:y = p0 + p1*x1 + p2*x2 + p3*np.sin(x1+x2+x1^2+x2^2)p[0] = 1.0000p[0]_fit = 1.1316p[1] = 0.5000p[1]_fit = 0.5020p[2] = -0.5000p[2]_fit = -0.5906p[3] = 5.0000p[3]_fit = 5.0061estimated covariancepcov: [[ 9.51937904e-03 -2.82863223e-03 -5.26393413e-03 -8.51457970e-04] [-2.82863223e-03 4.88275894e-03 9.39281331e-05 3.73832161e-04] [-5.26393413e-03 9.39281331e-05 3.86701646e-03 4.65766686e-04] [-8.51457970e-04 3.73832161e-04 4.65766686e-04 1.85374067e-03]]
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