反三角级数展开成x的幂级数

不能直接得到，
所以要先求导，展开幂级数展开式，
然后进行积分即可
(arctanx)'=1/(1+x^2)=∑(-1)^n (x)^(2n)
然后再对上式积分得到
arctanx=(-1)^n[x+x^3/3++x^(2n+1)/(2n+1)+]

解：f(x)=(3x-5)/[(x-3)(x-1)]=A/(x-1)+B/(x-3)

A(x-3)+B(x-1)=(A+B)x-3A-B=3x-5; 对比系数:A+B=3,-3A-B=-5; 得：2A=2，A=1；B=2；

f(x)=1/(x-1)+2/(x-3)=-1/(1-x)-(2/3)1/(1-x/3)=-[1+(-x)]^(-1)-(2/3)[1+(-x/3)]^(-1);

分别应用公式（1+x)^a=1+ax+a(a-1)x^2/2!++a(a-1)(a-n+1)x^n/n!+Rn(x)。

幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

绝对收敛级数：

一个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的。一个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的。

对于任意给定的正数tol，可以找到合适的区间(譬如坐标绝对值充分小)，使得这个区间内任意三个点组成的三角形面积都小于tol。

百度百科-幂级数 

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-

sin2x=2x-8x^3/3!+32x^5/5!+

具体代入：0+x/2+0-(x^3/8)/3!+0+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……

化简：x/2-(x^3/8)/3!+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……

该级数的收敛半径为R=+无穷大；

检验：|X-X0|无穷）

因此，综上可得：

y=sinx/2的展开幂次级：

sinX/2=x/2-(x^3/8)/3!+(X^5/32)/5!-……+(-1)^n(1/2)^nX^(2n+1)/(2n+1)!+……（注X∈R）

幂级数

是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

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