求解 拉格朗日乘数法 详细过程 谢谢

解答过程如图所示：

扩展资料：

设给定二元函数z=ƒ(x，y)和附加条件φ(x，y)=0，为寻找z=ƒ(x，y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数，其中λ为参数。

1、设F（x，y，λ）对x，y和λ的一阶偏导数等于零，即F'x=ƒ'x（x，y）+λφ'x（x，y）=0，F'y=ƒ'y（x，y）+λφ'y（x，y）=0，F'λ=φ（x，y）=0

2、根据上述方程，解出x，y和λ，由此得到的（x，y）是函数z=ƒ（x，y）在附加条件φ（x，y）=0下的可能极值点。

3、如果只有一个这样的点，可以直接由实际问题来决定。

参考资料来源：

百度百科-拉格朗日乘数法

拉格朗日乘子法是一种寻找多元函数在一组约束下的极值方法。

上图中

与椭圆体相交平面上直线 如果高度上没有限制那么 就形成一个面，这个面与椭圆体相交可以表示为 ,我们就可以在这个曲线找到最小值。然后我们可以将这等高线投影到二维平面上来简化问题

在上图中，我们可以推断出其实最小(或最大值)就位于限制条件g(x,y)和方程f(x,y)等号线相切的位置。而且有共同切线的斜率，那么他们法线方向是 成比例 的。这个比例系数就是拉格朗日乘子

我们现在来简单推导一下，这里将 y 表示为对于 x 的函数，那么就有 y(x),然后分别带入下面两个方程就得到。

下面我么这个两个方程都对x 进行偏微分，通过链式法则我们就得到下面式子

因为我们知道他们斜率是成比例的，所有就可以得到这样结论，这就是拉格朗日乘子法，其中 就是乘子

我们就可以利用这个三个条件来求在有限制条件下方程极值问题

假设 ,在 的条件限制下有极值。

利用上面知识来求极值

然后他们带入到 得到

那么结果就是最小值和最大值分别是 5 和 -5

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