BCH码的编码译码

用Vn表示GF(2)域的n维线性空间，Vκ是Vn的κ维子空间，表示一个(n，κ)线性分组码。Ei=（vi1，vi2…,vin）是代表Vκ的一组基底(i=1，2，…，κ)。以这组基底构成的矩阵

称为该(n,κ)线性码的生成矩阵。对于给定的消息组m=(m1，m2，…，mκ)，按生成矩阵G，m被编为mG=m1E1+m2E2+…+mκEκ

这就是线性分组码的编码规则。若

之秩为n-κ并且满足GH=0，仅当=(v1,v2,…，vn)∈n满足H=0时，才为κ中的码字。称H为(n，κ)线性分组码κ的均等校验矩阵,称H为矢量的伴随式。假设v是发送的码矢量，在接收端获得一个失真的矢量r=v+E,式中E=(e1，e2，…，en)称为错误型。由此rH=(v+e)H=eH

线性码的译码原则便以此为基础。

寻呼编码。

寻呼用户的号码和主叫的寻呼消息变换成一定码型和格式的数字信号。

有格雷（Golay）码、Kasami截短循环码、BCH码和POCSAG码。1982年，CCIR将POCSAG码作为国际无线寻呼一号标准码。

扩展资料：

1、格雷（23：12）循环码

1973年，美国在150MHz和450MHz移动频段的寻呼系统中采用的编码格式。地址传输速率为300/600bit/s。消息使用BCHC15：7）码，传输速率为600bit/s，编码效率为0.52，具有较强的纠错和检错能力，并能与其它编码方式混合传输。

格雷码寻呼格式可扩充为格雷序列码（GSC），GSC格式可单个或成组发射。发射以一个序码开始，接着一个起始码和单个（或一组）地址码或数据块码。地址容量为40万个。

2、Kasami（26：16）

截短循环码1978年，瑞典在87.5～104MHzFM广播频段的寻呼系统中使用的编码格式。调制方式、编码格式能与单音、立体音广播节目兼容。

每一个寻呼地址包括6个十进制数字，后面可跟一个附加的消息，消息长度为10至18位十进制数字，也可为任意长度的字母数字。这种码的传输速率为1187.5bit/s，编码效率为0.62，具有一定的纠错和检错能力，地址容量为100万个。

3、BCH（31：16）码

1978年，日本在250MHz移动频段的寻呼系统中使用的编码格式。码字的总周期长度为4185bit，分成15组，每组前面有31bit同步信号和组识别信号，随后有8个地址码。

每个地址码由31bit组成，采用BCH编码，它由16bit信息和15bit校验码组成，传输速率为200bit/s，编码效率为0.52，具有较强的纠错和检错能力，地址容量为6.5万个。

4、国际无线寻呼一号标准码

容量大，具有200万个地址码，并能扩展到800万个；具有较强的随机和突发误码的纠错、检错能力；编码效率高，为0.66；传送消息长度无限制，不仅适用于数字，还适用于字母或汉字；在多基站寻呼系统中，能同时发送，也能顺序发送；与其它小容量编码兼容传输，适应能力强。

1984年，我国使用此编码。

参考资料来源：百度百科-寻呼编码

它是一类重要的循环码，能纠正多个错误。假设m是满足模n(modn)的最小正整数,β是域GF(2)的n次单位原根,作循环码的生成多项式g(x),以d0-1个接续的元素为根，其中m0,d0均为正整数，且d0≥2。于是

其中mj(x)代表的最小多项式。由这个g(x)所生成的，分组长为n的循环码称为BCH码。它由R.C.Bose，D.K.Ray-Chaudhuri及A.Hocquenghem三人研究而得名。BCH码的主要数量指标是：码长n，首元指数m0，设计距离d0，信息位数（表示多项式g(x)的次数）。BCH码的重要特性在于：设计距离为d0的BCH码，其最小距离至少为d0，从而可至少纠正(d0-1)/2个独立错误。BCH码译码的第一步是计算伴随式。假设 为发送码矢量,为接收矢量,而E=(E0,E1,…,En-1)为错误矢量,或记为错误多项式。于是伴随矢量之诸S=(S1，S2，…,S2t)分量Sκ由

决定（κ=1,2,…2t；为简便计,设m0=1,d0=2t+1）。假设有e个错误出现(1≤e≤t),则对应于e个错误的Ei厵0。如果E的第j个（从左至右）非零分量是Ei,则称Xj=β为这个错误Ei的错位，而称Yj=Ei为这个错误的错值。称 为错位多项式。BCH码译码的关键是由诸sκ(κ=1,2，…，2t)求出(z)。这可用著名的伯利坎普－梅西迭代算法来完成。这种算法相当于线性移位寄存器（LFDR寄存器）的综合问题。最后一步是求出(z)的全部根，可用钱天闻搜索算法完成,从而可以定出接收矢量r的全部错位。

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